Giải phương trình: \((\sqrt{x-6}-\sqrt{x-2})(1+\sqrt{x^2+4x-12})=8\)

Đáp án:

$x \in\varnothing$

Giải thích các bước giải:

$(\sqrt{x -6} -\sqrt{x-2})(1+\sqrt{x^2 + 4x -12})=8\qquad (*)$

$ĐKXĐ:\begin{cases}x – 6 \geq 0\\x – 2\geq 0\\x^2 + 4x -12\geq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x\geq 6\\x\geq 2\\\left[\begin{array}{l}x \geq 2\\x \leq -6\end{array}\right.\end{cases}\Leftrightarrow x \geq 6$

$(*)\Leftrightarrow (\sqrt{x-6} + \sqrt{x-2})(\sqrt{x -6} -\sqrt{x-2})(1+\sqrt{x^2 + 4x -12})=8(\sqrt{x-6} +\sqrt{x-2})$

$\Leftrightarrow [(x-6)-(x-2)](1+\sqrt{x^2 + 4x -12})= 8(\sqrt{x-6} +\sqrt{x-2})$

$\Leftrightarrow  1 +\sqrt{x^2 + 4x -12}=-2(\sqrt{x-6} +\sqrt{x-2})$

Ta có:

$VT = 1 + \sqrt{x^2 + 4x -12}> 0\quad \forall x \geq 6$

$\sqrt{x-6} +\sqrt{x-2}> 0\quad \forall x \geq 6$

$\to VP = -2(\sqrt{x-6} +\sqrt{x-2})< 0\quad \forall x \geq 6$

$\to \begin{cases}VT>0\\VP<0\end{cases}\longrightarrow VT\ne VP$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm