Giải phương trình vi phân: y’ + (y/(x+1))=e^x

Đáp án:

$y = \dfrac{xe^x + C_1}{x+1}$

Giải thích các bước giải:

$\quad y’ + \dfrac{y}{x+1} = e^x\qquad (*)$

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad y = C.e^{\displaystyle\int-\dfrac{1}{x+1}dx}$

$\Leftrightarrow y = C.e^{-\ln(x+1)}$

$\Leftrightarrow y = \dfrac{C}{x+1}$

Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:

$\quad y = \dfrac{C(x)}{x+1}$

$\Rightarrow y’ = \dfrac{C'(x)}{x+1} – \dfrac{C(x)}{(x+1)^2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\quad \dfrac{C'(x)}{x+1} – \dfrac{C(x)}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x+1}\cdot \dfrac{C(x)}{x+1} = e^x$

$\Leftrightarrow C'(x)= e^x(x+1)$

$\Leftrightarrow C(x)= xe^x + C_1$

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là: $y = \dfrac{xe^x + C_1}{x+1}$