giải pt: a) căn bậc 4 (x) + căn bậc 4 (97-x) = 5 b) 2xy – √(x²y- x²/4) – 2. √(y²x-y²)=0

Đáp án:

a) $ x = 16; x = 81$

b) $(x; y) = (2; \dfrac{1}{2})$

Giải thích các bước giải: Tham khảo

a)ĐKXĐ $: 0 ≤ x ≤ 97$.

Đặt $ t = \sqrt[4]{x(97 – x)} ≥ 0 ⇒ t² = \sqrt{x(97 – x)}$

$ PT ⇔ \sqrt{x} + \sqrt{97 – x}+ 2\sqrt[4]{x(97 – x)} = 25$

$ ⇔ \sqrt{x} + \sqrt{97 – x} = 25 – 2t (t ≤ \dfrac{25}{2})$

$ ⇔ x + (97 – x) + 2\sqrt{x(97 – x)} = 625 – 100t + 4t²$

$ ⇔ 97 + 2t² = 625 – 100t + 4t²$

$ ⇔ t² – 50t + 264 = 0 ⇒ t = 6 $ ( loại $t = 44 > \dfrac{25}{2})$

$ ⇔ \sqrt[4]{x(97 – x)} = 6 ⇔ x(97 – x) = 1296$

$ ⇔ x² – 97x + 1296 = 0 ⇒ x = 16; x = 81 (TM)$

b) ĐKXĐ:

$ x²y – \dfrac{x²}{4} = x²(y – \dfrac{1}{4}) ≥ 0 ⇔ y ≥  \dfrac{1}{4} > 0$

$ ⇒ \sqrt{y²x – y²} = \sqrt{y²(x – 1)} = y\sqrt{x – 1} $

$ xy² – y² = y²(x – 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 $

$ ⇒ \sqrt{x²y – \dfrac{x²}{4}} = \sqrt{x²(y – \dfrac{1}{4})} = \dfrac{x}{2}\sqrt{4y – 1}$

$ PT ⇔ 4xy – x\sqrt{4y – 1} – 4y\sqrt{x – 1} =0$

$ ⇔ 2x\sqrt{4y – 1} + 8y\sqrt{x – 1} = 8xy (1)$

Áp dụng BĐT Cô si:

$ 2\sqrt{4y – 1} ≤ (4y – 1) + 1 = 4y ⇒ 2x\sqrt{4y – 1} ≤ 4xy$

$ 2\sqrt{x – 1} ≤ (x – 1) + 1 = x ⇒ 8y\sqrt{4y – 1} ≤ 4xy$

$ ⇒ 2x\sqrt{4y – 1} + 8y\sqrt{x – 1} ≤ 8xy (2)$

Từ $(1); (2) ⇒ 4y – 1 = 1 ⇒ y = \dfrac{1}{2}; x – 1 = 1 ⇒ x = 2$