GIẢI RÕ RÀNG CHO MK Ạ 20 củ -Tìm nghiệm nguyên của pt x ²-2y ²=5 -Tìm x ∈ R để x+ √15 và (1/x) – √15 đồng thời là các số nguyên

Đáp án:

1) $PT$ không có nghiệm nguyên

2) $ x = 4 – \sqrt{15}$

Giải thích các bước giải:

1) $x² – 2y² = 5 ⇔ x² = 2y² + 5 = 2(y² + 2) + 1 (1)$ lẻ

Đặt $ x = 2a + 1 (a ∈ Z) ⇔ x² = 4a² + 4a + 1$ thay vào $(1)$

$ 4a² + 4a + 1 = 2y² + 5 ⇔ 4a² + 4a = 2y² + 4$

$ ⇔ y² + 2 = 2a(a + 1) (2)$ là số chẵn

Đặt $ y = 2b (b ∈ Z) ⇒ y² = 4b² $ thay vào $(2)$

$ 4b² + 2 = 2a(a + 1) ⇔ 2b² + 1 = a(a + 1)$ Vô lý

Vì $2b² + 1 $ lẻ mà $a; a + 1$ là 2 số nguyên liên tiếp

$⇒ a(a + 1)$ chẵn

Vậy $PT$ không có nghiệm nguyên.

2) $x + \sqrt{15} = p (p ∈ Z) ⇔ x = p – \sqrt{15}$ 

$ \dfrac{1}{x} – \sqrt{15} = q (q ∈ Z) ⇔ q + \sqrt{15} – \dfrac{1}{x} = 0 $ 

$ ⇔ x(q + \sqrt{15}) – 1 = 0 ⇔ (p – \sqrt{15})(q + \sqrt{15}) – 1 = 0$

$ ⇔ pq + (p – q)\sqrt{15} – 16 = 0 ⇔ (p – q)\sqrt{15} = 16 – pq (*)$

Vì $p, q ∈ Z ⇒ pq – 16 ∈ Z$

$p, q ∈ Z ⇒ p – q ∈ Z$ mà $\sqrt{15}$ là số vô tỷ

$ ⇒ (p – q)\sqrt{15} $ cũng là số vô tỷ 

Do đó $ (*) $ chỉ thỏa mãn khi $ p – q = 16 – pq = 0 $

$ ⇔ p = q = 4 ⇒ x = p – \sqrt{15} = 4 – \sqrt{15}$