giải và biện luận bất phương trìn $(m+1)^{2}$ $x^{2}$ < $(x+1)^{2}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

– Nếu $m = -1$, bptrinh trở thành

$(x+1)^2 > 0$

Đúng với $x \neq -1$

– Nếu $m \neq -1$, bptrinh trở thành

$(m+1)^2 x^2 – x^2 – 2x -1 < 0$

$\Leftrightarrow (m^2 + 2m)x^2 – 2x – 1 < 0$

TH1: $m \in \{0, -2\}$

Khi đó ptrinh trở thành

$-2x – 1 < 0$

$\Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{2}$

TH2: $m \notin \{0, -2\}$

Ta có

$\Delta’ = 1 + m^2 + 2m = (m+1)^2 \geq 0$ với mọi $m$

Do $m \neq -1$ nên $\Delta’ > 0$. Do đó ptrinh có 2 nghiệm phân biệt

$x_1 = \dfrac{1 – m – 1}{m^2 + 2m} = -\dfrac{1}{m+2}$ và $x_2 = \dfrac{1 +  m + 1}{m^2 + 2m} = \dfrac{1}{m}$

Khi đó ta có

$\min\left\{ -\dfrac{1}{m+2}, \dfrac{1}{m} \right\} < x < \max\left\{ -\dfrac{1}{m+2}, \dfrac{1}{m} \right\}$

Tóm lại, ta có

– Nếu $m = -1$ thì $x \neq -1$

– Nếu $m \in \{0, -2\}$ thì $x > -\dfrac{1}{2}$

– Nếu $m \notin \{-2, -1, 0\}$ thì

$\min\left\{ -\dfrac{1}{m+2}, \dfrac{1}{m} \right\} < x < \max\left\{ -\dfrac{1}{m+2}, \dfrac{1}{m} \right\}$