giúp e với ạ chứng minh đẳng thức x^2+y^2+1>=x.y+x+y(với mọi x,y) cảm ơn trước ạ 30/10/2021 Bởi Allison giúp e với ạ chứng minh đẳng thức x^2+y^2+1>=x.y+x+y(với mọi x,y) cảm ơn trước ạ
$\text{ Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương ta có:}$ ${ x^2+y^2+1 \geq xy+x+y}$ ⇔ ${ x^2+y^2+1 – xy-x-y \geq 0 }$ ⇔ ${ 2.(x^2+y^2+1-xy-x-y) \geq 0 }$ ⇔ ${ 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y \geq 0 }$ ⇔ ${ (x^2-2xy+y^2) +(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1) \geq 0}$ ⇔ ${ (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2 \geq 0 }$ $\text {Với mọi x,y ta có:}$ ${(x-y)^2 \geq 0 }$ ${(x-1)^2 \geq 0 }$ ${(y-1)^2 \geq 0 }$ ⇒ ${(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2 \geq 0}$ ⇒ ${x^2+y^2+1 \geq xy+x+y }$ $\text{với mọi x,y}$ Bình luận
$x^2+y^2+1≥xy+x+y$ $⇔2x^2+2y^2+2≥2xy+2x+2y$ $⇔(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)≥0$ $⇔(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2≥0\ ($luôn đúng $∀x,y)$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bình luận
$\text{ Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương ta có:}$
${ x^2+y^2+1 \geq xy+x+y}$
⇔ ${ x^2+y^2+1 – xy-x-y \geq 0 }$
⇔ ${ 2.(x^2+y^2+1-xy-x-y) \geq 0 }$
⇔ ${ 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y \geq 0 }$
⇔ ${ (x^2-2xy+y^2) +(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1) \geq 0}$
⇔ ${ (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2 \geq 0 }$
$\text {Với mọi x,y ta có:}$
${(x-y)^2 \geq 0 }$
${(x-1)^2 \geq 0 }$
${(y-1)^2 \geq 0 }$
⇒ ${(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2 \geq 0}$
⇒ ${x^2+y^2+1 \geq xy+x+y }$ $\text{với mọi x,y}$
$x^2+y^2+1≥xy+x+y$
$⇔2x^2+2y^2+2≥2xy+2x+2y$
$⇔(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)≥0$
$⇔(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2≥0\ ($luôn đúng $∀x,y)$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.