Giúp em với ạ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình cos2x+sinx+m=0 có nghiệm x€[-pi/6;pi/4] 05/09/2021 Bởi Quinn Giúp em với ạ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình cos2x+sinx+m=0 có nghiệm x€[-pi/6;pi/4]
Giải thích các bước giải: Ta có: \[\begin{array}{l}\\\cos 2x + \sin x + m = 0\\ \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + \sin x + m = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x – \sin x – \left( {m + 1} \right) = 0\\t = \sin x\\x \in \left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow t = \sin x \in \left[ { – \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\\ \Rightarrow 2{t^2} – t – \left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m = 2{t^2} – t – 1\end{array}\] Xét hàm số f(t)=2t^2-t-1 trên đoạn [-1/2;√2/2] ta có: \[f\left( t \right) \in \left[ { – \frac{9}{8};0} \right] \Rightarrow m \in \left[ { – \frac{9}{8};0} \right]\] m là số nguyên nên m=-1 hoặc m=0 thì phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn đề bài Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\\
\cos 2x + \sin x + m = 0\\
\Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + \sin x + m = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x – \sin x – \left( {m + 1} \right) = 0\\
t = \sin x\\
x \in \left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow t = \sin x \in \left[ { – \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\\
\Rightarrow 2{t^2} – t – \left( {m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow m = 2{t^2} – t – 1
\end{array}\]
Xét hàm số f(t)=2t^2-t-1 trên đoạn [-1/2;√2/2] ta có:
\[f\left( t \right) \in \left[ { – \frac{9}{8};0} \right] \Rightarrow m \in \left[ { – \frac{9}{8};0} \right]\]
m là số nguyên nên m=-1 hoặc m=0 thì phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn đề bài