Giúp em với ạ
Trong Oxy cho tam giác ABC có A(5;2), B(-3;1), C(1;-4)
Tìm tọa độ I là chân đường phân giác trong của góc BAC
Giúp em với ạ
Trong Oxy cho tam giác ABC có A(5;2), B(-3;1), C(1;-4)
Tìm tọa độ I là chân đường phân giác trong của góc BAC
Đáp án:
GỌi pt đường phân giác trong qua A của tam giác là (d)y=a.x+b
Do A nằm trên (d) nên
$\begin{array}{l}
5 = 2a + b \Rightarrow b = 5 – 2a\\
\Rightarrow \left( d \right):y = a.x + 5 – 2a\\
\Rightarrow a.x – y + 5 – 2a = 0
\end{array}$
Vì khoảng cách từ B và C đến (d) bằng nhau nên ta có:
$\begin{array}{l}
{d_{B – d}} = {d_{C – d}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\left| {a.\left( { – 3} \right) – 1 + 5 – 2a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{{\left| {a.1 – \left( { – 4} \right) + 5 – 2a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\
\Rightarrow \left| {4 – 5a} \right| = \left| {9 – a} \right|\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
4 – 5a = 9 – a\\
4 – 5a = a – 9
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
4a = – 5\\
6a = 13
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{ – 5}}{4}\\
a = \dfrac{{13}}{6}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( d \right):\dfrac{{ – 5}}{4}x – y + \dfrac{{15}}{2} = 0\left( 1 \right)\\
\left( d \right):\dfrac{{13}}{6}.x – y + \dfrac{2}{3} = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
Mà B và C nằm khác phía với d nên:
$\begin{array}{l}
{d_B}.{d_C} < 0\\
+ TH1:\left( d \right): – \dfrac{5}{4}x – y + \dfrac{{15}}{2} = 0\\
\Rightarrow \left( { – \dfrac{5}{4}.\left( { – 3} \right) – 1 + \dfrac{{15}}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ – 5}}{4}.1 + 4 + \dfrac{{15}}{2}} \right) > 0\left( {ktm} \right)\\
+ TH2:\left( d \right):\dfrac{{13}}{6}.x – y + \dfrac{2}{3} = 0\\
\Rightarrow \left( {\dfrac{{13}}{6}.\left( { – 3} \right) – 1 + \dfrac{2}{3}} \right).\left( {\dfrac{{13}}{6}.1 + 4 + \dfrac{2}{3}} \right) < 0\\
\Rightarrow \left( d \right):\dfrac{{13}}{6}.x – y + \dfrac{2}{3} = 0\\
hay\,y = \dfrac{{13}}{6}x + \dfrac{2}{3}
\end{array}$
Viết được pt BC: $y = – \dfrac{5}{4}.x – \dfrac{{11}}{4}$
Tọa độ I là giao của BC và d
$\begin{array}{l}
\dfrac{{13}}{6}x + \dfrac{2}{3} = \dfrac{{ – 5}}{4}x – \dfrac{{11}}{4}\\
\Rightarrow x = – 1\\
\Rightarrow y = – \dfrac{3}{2}\\
\Rightarrow I\left( { – 1; – \dfrac{3}{2}} \right)
\end{array}$