giúp em với
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{c}$ + $\frac{c}{a}$ + $\frac{3abc}{ab+bc+ca}$
giúp em với
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{c}$ + $\frac{c}{a}$ + $\frac{3abc}{ab+bc+ca}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:$a+b+c=3$
⇒$a+b+c>\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
⇒$\frac{a+b+c}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} ≥1$
⇒$\frac{abc(a+b+c)}{ab+ac+bc}≥1 (2)$
⇒$\frac{3abc}{ab+ac+bc}≥1$
Áp dụng bất đẳng thức cauchy có:
⇒$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}≥3.√\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{a}{c}=3 (1)$
⇒$P ≥1;3$
Mà $(1;3)=1$
⇒$P≥4$
Vậy $P=4 ⇔a=b=c=1$
@hoangminh