Giúp mik vớiiii Cho các số x,y,z đều dương.CMR 3+2(x+y+z)>(căn)4x+1 +(căn)4y+1+(căn)4z+1

0 bình luận về “Giúp mik vớiiii Cho các số x,y,z đều dương.CMR 3+2(x+y+z)>(căn)4x+1 +(căn)4y+1+(căn)4z+1”

1. Bài làm:

    Theo bài, ta có: x, y, z > 0

     ⇒ 4x+1 > 0 ; 4y+1>0 ; 4z+1>0

    Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương, ta có:

     $\sqrt[]{4x+1}$ $\leq$ $\frac{(4x+1)+1}{2}$ = $\frac{4x+2}{2}$ = 2x+1

     Chứng minh tương tự, ta có: $\sqrt[]{4y+1}$ $\leq$ 2y+1 và $\sqrt[]{4z+1}$ $\leq$ 2z + 1

     ⇒ $\sqrt[]{4x+1}$ + $\sqrt[]{4y+1}$ + $\sqrt[]{4z+1}$ $\leq$ 2x + 2y + 2z + 3 = 2(x+y+z) + 3

     Dấu ” = ” xảy ra ⇔ 4x+1 = 4y+1 = 4z+1 = 1

   ⇔ 4x = 4y = 4z = 0 ⇔ x = y = z = 0 (1)

     mà theo bài: x, y, z>0  (2)

     Từ (1) và (2) ⇒ Dấu ” = ” sẽ không xảy ra

     hay 3 + 2(x+y+z) > $\sqrt[]{4x+1}$ + $\sqrt[]{4y+1}$ + $\sqrt[]{4z+1}$ ( đpcm )

   Bình luận

2. Đáp án:

   Cần chứng minh: `3+2(x+y+z)>=sqrt{4x+1}+sqrt{4y+1}+sqrt{4z+1}`

   `<=>6+4x+4y+4z>=2sqrt{4x+1}+2sqrt{4y+1}+2sqrt{4z+1}`

   `<=>4x+1-2sqrt{4x+1}+1+4y+1-2sqrt{4y+1}+1+4z+1-2\sqrt{4z+1}+1>=0`

   `<=>(\sqrt{4x+1}-1)^2+(sqrt{4y+1}-1)^2+(sqrt{4z+1}-1)^2>=0` luôn đúng.

   Dấu “=” xảy ra khi `sqrt{4x+1}=sqrt{4y+1}=sqrt{4z+1}=1`

   `<=>x=y=z=0` trái với giả thiết `x,y,z>0`

   `=>3+2(x+y+z)>sqrt{4x+1}+sqrt{4y+1}+sqrt{4z+1}`

   Bình luận