Giúp mình với ạ:((
Cho phương trình :
$x^{2} -2x + 2 -m =0 $ (m là tham số)
Giả sử $x_{1}$, $x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình (1)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$x_{1}^{2}$ $x_{2}^{2} $ $+3x_{1}^{2}$ $+3x_{2}^{2}-2021$
Giúp mình với ạ:((
Cho phương trình :
$x^{2} -2x + 2 -m =0 $ (m là tham số)
Giả sử $x_{1}$, $x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình (1)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$x_{1}^{2}$ $x_{2}^{2} $ $+3x_{1}^{2}$ $+3x_{2}^{2}-2021$
`x^2-2x+2-m=0`
`\Delta’=(-1)^2-(2-m)`
`\Delta’=1-2+m`
`\Delta’=m-1`
Để pt có nghiệm
`<=> \Delta’>=0`
`=> m-1>=0`
`<=> m>=1`
Với `m>=1` thì pt có nghiệm
Theo Viet: $\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=2-m\end{cases}$
Đặt `A=x_1^2 x_2^2+3x_1^2+3x_2^2-2021`
`A=(x_1.x_2)^2+3(x_1^2+x_2^2)-2021`
`A=(x_1.x_2)^2+3(x_1+x_2)^2-6x_1x_2-2021`
Thay `x_1+x_2=2; x_1.x_2=2-m` vào bt trên ta có:
`A=(2-m)^2+3.2^2-6.(2-m)-2021`
`A=4-4m+m^2+3.4-12+6m-2021`
`A=m^2-4m+4+12-12+6m-2021`
`A=m^2+2m-2017`
`A=(m+1)^2-2018`
Do `m>=1 => m+1>=2`
`=> (m+1)^2>=4`
`=> (m+1)^2-2018>=-2014`
Hay `A_(min)=-2014`
Dấu = xảy ra khi `m=1`
Vậy GTNN của `x_1^2x_2^2+3x_1^2+3x_2^2-2021` là `-2014` khi `m=1`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a=1 b=-2 c=2-m
=>∆=b^2-4ac=4-4(2-m)=4-8+4m=4m-4
Để pt có nghiệm=>4m-4>=0<=>m>=1
Ad hệ thức vi ét=>x1×x2=c/a=2-m
X1+x2=-b/a=2
ta có↥=(x1x2)^2+3(x1^2+x2^2)-2021
=……………………..+3((x1+x2)^2-2x1x2))-2021
Thay vào ta đc =m^2+2m-2017=m^2+2m+1-2018=(m+1)^2-2018>=-2018
=> gtnn là -2018 tại m+1=0=>m=-1(ko tm điều kiện để pt có no)=>gtnn là -2014 tại m=1