Giúp mình với các chuyên gia và mod toán Chứng minh rằng: $\sin {2^o}\sin {18^o}\sin {22^o}\sin {38^o}\sin {42^o}\sin {58^o}\sin {62^o}\sin {78^o}\si

Lời giải và đáp án:

$\sin {2^o}\sin {18^o}\sin {22^o}\sin {38^o}\sin {42^o}\sin {58^o}\sin {62^o}\sin {78^o}\sin {82^o} = \dfrac{{\sqrt 5 – 1}}{{1024}}$

Ta có `text(VT)=(sqrt5-1)/(1024)=\frac{1}{256}.\sin 18^o`

`⇔sin2^osin18^osin22^osin38^osin42^osin58^osin62^osin78^osin82^o=1/256.sin18^o`

Ta chứng minh: `sin 3a=4sin a sin(60^o +a)sin(60^o-a)`

Áp dụng: `{(sin2^o .sin58^o .sin62^o=1/4sin6^o),(sin18^o .sin78^o .sin 42^o=1/4sin54^o),(sin22^o .sin82^o .sin 38^o=1/4sin66^o):}`

Từ đó suy ra:

`text(VP)=1/4^3 sin6^o .sin54^o .sin 66^o=1/256. sin 18^o=\frac{\sqrt 5 – 1}{1024}=text(VT)`

`=>` `\text(VP)=\text(VT)`

`=>` `\text(đpcm)`