Giúp mình với Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $y = \sqrt[3]{{2 + \sqrt x }} + \sqrt[3]{{2 – \sqrt x }}$

0 bình luận về “Giúp mình với Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $y = \sqrt[3]{{2 + \sqrt x }} + \sqrt[3]{{2 – \sqrt x }}$”

1. Ta áp dụng công thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ nên ta có:

   $\begin{array}{l} {y^3} = 2 + \sqrt x  + 2 – \sqrt x  + 3\sqrt[3]{{4 – x}}.y\\  \Leftrightarrow {y^3} = 4 + 3\sqrt[3]{{4 – x}}.y\\  \Leftrightarrow y\left( {{y^2} – 3\sqrt[3]{{4 – x}}} \right) = 4 \end{array}$

   Từ đó ta có $\sqrt[3]{4-x}$ phải là số nguyên 

   $\begin{array}{l}  \Rightarrow 4 \vdots y \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;4} \right\}\\ y = 1 \Rightarrow {y^2} – 3\sqrt[3]{{4 – x}} = 4\\  \Leftrightarrow  – 3 = 3\sqrt[3]{{4 – x}} \Rightarrow 4 – x =  – 1 \Rightarrow x = 5\\ y = 2 \Rightarrow {y^2} – 3\sqrt[3]{{4 – x}} = 2\\  \Leftrightarrow 4 – 3\sqrt[3]{{4 – x}} \Leftrightarrow 2 = 3\sqrt[3]{{4 – x}}(L)\\ y = 4 \Rightarrow {y^2} – 3\sqrt[3]{{4 – x}} = 1\\  \Leftrightarrow 16 – 3\sqrt[3]{{4 – x}} = 1\\  \Leftrightarrow \sqrt[3]{{4 – x}} = 5\\  \Leftrightarrow 4 – x = 125 \Leftrightarrow x =  – 121\left( L \right)\\  \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {5;1} \right) \end{array}$

   Bình luận