Giúp mk: Cho a,b,c >0 .tìm gtnn: 3a/(b+c)+4b/(a+c)+5c/(a+b)

Đáp án:

$\min = \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}$

$= \dfrac{3a}{b + c} + 3 + \dfrac{4b}{a + c} + 4 + \dfrac{5c}{a + b}+ 5 – 12$

$= \dfrac{3(a+b+c)}{b + c} + \dfrac{4(a + b + c)}{a + c} + \dfrac{5(a + b + c)}{a + b} -12$

$= (a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$(a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$

$\geq (a + b + c)\dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2(a + b + c)} – 12$

$= \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

$a, b, c$ là các số thực dương tùy ý thoả mãn

$\dfrac{\sqrt3}{b + c} = \dfrac{2}{a + c} = \dfrac{\sqrt5}{a + b}$

Vậy $\min\left(\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}\right) =  \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$