Giúp mk: Cho a,b,c >0 .tìm gtnn: 3a/(b+c)+4b/(a+c)+5c/(a+b)

0 bình luận về “Giúp mk: Cho a,b,c >0 .tìm gtnn: 3a/(b+c)+4b/(a+c)+5c/(a+b)”

1. Đáp án:

   $\min = \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

   Giải thích các bước giải:

   $\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}$

   $= \dfrac{3a}{b + c} + 3 + \dfrac{4b}{a + c} + 4 + \dfrac{5c}{a + b}+ 5 – 12$

   $= \dfrac{3(a+b+c)}{b + c} + \dfrac{4(a + b + c)}{a + c} + \dfrac{5(a + b + c)}{a + b} -12$

   $= (a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$

   Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

   $(a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$

   $\geq (a + b + c)\dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2(a + b + c)} – 12$

   $= \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

   $a, b, c$ là các số thực dương tùy ý thoả mãn

   $\dfrac{\sqrt3}{b + c} = \dfrac{2}{a + c} = \dfrac{\sqrt5}{a + b}$

   Vậy $\min\left(\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}\right) =  \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

   Bình luận

2. Đáp án:

   Ta có : 

   Đặt `F = (3a)/(b + c) + (4b)/(a + c) + (5c)/(a + b)`

   `=> F + 12  = [(3a)/(b + c) + 3] + [(4b)/(a + c) + 4] + [(5c)/(a + b) + 5]`

   ` = [3(a + b + c)]/(b + c) + [4(a + b + c)]/(a + c)  + [5(a + b + c)]/(a + b)`

   `= (a + b + c)(3/(b + c) + 4/(a + c) + 5/(a + b))`

   Áp dụng BĐT bu – nhi – a  – cốp – xki

   `F + 12 ≥ (a + b + c)[(√3 + 2 + √5)^2]/(2(a + b + c))  = (√3 + 2 + √5)^2/2`

   `=> F ≥ (√3 + 2 + √5)^2/2 – 12 `

   Dấu “=” xẩy ra

   `<=> \sqrt{3}/(b + c) = \sqrt{4}/(a + c) = \sqrt{5}/(b + a)`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận