Giúp mk với!!! . . . . . Tìm GTLN của A (sd BĐT Cauchy): $\frac{-x-2\sqrt[]{x}-5}{\sqrt[]{x}+2}$

Đáp án:`Max_A=2-2sqrt5<=>x=9-4sqrt5`.

Giải thích các bước giải:

Điều kiện:`x>=0`

`A=(-x-2sqrtx-5)/(sqrtx+2)`

`<=>-A=(x+2sqrtx+5)/(sqrtx+2)`

`<=>-A=(sqrtx(sqrtx+2)+5)/(sqrtx+2)`

`<=>-A=sqrtx+5/(sqrtx+2)`

`<=>-A=sqrtx+2+5/(sqrtx+2)-2`

Áp dụng BĐT cauchy với 2 số dương ta có:

`(sqrtx+2)+5/(sqrtx+2)>=2\sqrt{(sqrtx+2)*5/(sqrtx+2)}=2sqrt5`

`=>-A>=2\sqrt5-2`

`<=>A<=2-2sqrt5`.

Dấu “=” xảy ra khi `(sqrtx+2)=5/(sqrtx+2)`

`<=>(sqrtx+2)^2=5`

`<=>sqrtx+2=sqrt5(do \ sqrtx+2>=2>0)`

`<=>sqrtx=sqrt5-2`

`<=>x=9-4sqrt5(tm)`

Vậy `Max_A=2-2sqrt5<=>x=9-4sqrt5`.