:Hai quả cầu nhỏ A, B có cùng kích thước, khối lượng quả cầu B gấp đôi quả cầu A, chúng được treo vào đầu hai sợi dây nhẹ không dãn, cùng chiều dài l. Ban đầu kéo quả cầu A lệch khỏi vị trí cân bằng sao cho sợi dây hợp với phương thẳng đứng góc α =600 rồi thả nhẹ. Khi A tới vị trí thấp nhất nó va chạm đàn hồi với quả cầu B. Các sợi dây chỉ chịu được lực căng tối đa là13N. Tìm điều kiện về khối lượng của quả cầu A để các sợi dây không bị đứtsau khi thả quả cầu A. Lấy g=10m/s2
CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!!!!!!
Đáp án:
`m_A \le 0,45 (kg)`
Giải thích các bước giải:
$g = 10 (m/s^2)$
$\alpha_0 = 60^0$
$T_{max} = 13 (N)$
Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng.
Áp dụng bảo toàn cơ năng cho quả cầu $A$ ở vị trí thả và vật ở vị trí dây hợp với phương thẳng đứng một góc `\alpha` là:
`W = m_A.gl(1 – cos \alpha_0) = m_A.gl(1 – cos \alpha) + 1/2 m_Av^2`
`<=> v^2 = 2gl(cos \alpha – cos \alpha_0)`
`<=> v = \sqrt{2gl(cos \alpha – cos \alpha_0)}`
Áp dụng định luật $II -$ Niuton:
`\vec{a_{ht}} = {\vec{T} + \vec{P_A}}/m_A`
`<=> \vec{T} + \vec{P_A} = m_A\vec{a_{ht}}`
Chiếu lên phương của dây treo:
`T – P_A.cos \alpha = m_A.a_{ht}`
`<=> T – m_A.g.cos \alpha = m_A. {v^2}/l`
`<=> T = m_A.g.cos \alpha + m_A. {2gl(cos \alpha – cos \alpha_0)}/l`
`= m_A.g.cos \alpha + 2m_Ag(cos \alpha – cos \alpha_0)`
`= m_A.g(3cos \alpha – 2cos \alpha_0)`
Dây có lực căng lớn nhất khi vật đi qua VTCB $(\alpha = 0^0)$
`\to T = m_A.g(3cos \alpha – 2cos \alpha_0)`
$= m_A.10.(3cos 0^0 – 2cos 60^0) = 20m_A$
Để sợi dây nối vật $A$ không bị đứt sau khi thả quả cầu $A$ thì:
`T \le T_{max}`
`<=> 20m_A \le 13`
`<=> m_A \le 0,65 (kg)` $(1)$
Khi vật $A$ va chạm với vật $B.$
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:
`m_Av = m_Av_1 + m_Bv_2`
`<=> m_A(v – v_1) = m_Bv_2`
`<=> v – v_1 = 2v_2`
`<=> v_1 = v – 2v_2`
Áp dụng định luật bảo toàn động năng:
`1/2 m_1v^2 = 1/2 m_1v_1^2 + 1/2 m_2v_2^2`
`<=> m_1(v – v_1)(v + v_1) = m_2v_2^2`
`<=> v + v_1 = v_2`
`<=> v + v – 2v_2 = v_2`
`<=> v_2 = {2v}/3 = 2/3 .\sqrt{2gl(cos \alpha – cos \alpha_0)}`
Áp dụng định luật $II -$ Niuton:
`\vec{a_{ht}}’ = {\vec{T’} + \vec{P_B}}/m_B`
`<=> \vec{T’} + \vec{P_B} = m_B\vec{a_{ht’}}`
Chiếu lên phương của dây treo:
`T’ – P_B.cos \alpha = m_B.a_{ht}`
`<=> T’ – m_B.g.cos \alpha = m_B. {v_2^2}/l`
`<=> T’ = m_B.g.cos \alpha + m_B. {8gl(cos \alpha – cos \alpha_0)}/{9l}`
`= m_B.g.cos \alpha + 8/9 m_B.g(cos \alpha – cos \alpha_0)`
`= m_B.g(17/9 cos \alpha – 8/9 cos \alpha_0)`
Dây có lực căng lớn nhất khi vật đi qua VTCB $(\alpha = 0^0)$
`\to T = m_B.g(17/9 cos \alpha – 8/9 cos \alpha_0)`
`= 2m_A.10.(17/9 cos 0^0 – 8/9 cos 60^0)`
`= 260/9 m_A`
Để sợi dây nối vật $B$ không bị đứt sau khi quả cầu $A$ va chạm thì:
`T’ \le T_{max}`
`<=> 260/9 m_A \le 13`
`<=> m_A \le 0,45 (kg)` $(2)$
Từ $(1)$ và $(2) \to$ Vật $A$ có khối lượng tối đa là $0,45 kg$ thì dây không bị đứt.