HELPPPPP ME
1. CMR (a^4+b^4)/2 ≥ ab^3+a^3b-a^2b^2
2. Cho hai số dương a và b trong đó a=5-b
tìm gtnn của P= 1/a + 1/b
HELPPPPP ME 1. CMR (a^4+b^4)/2 ≥ ab^3+a^3b-a^2b^2 2. Cho hai số dương a và b trong đó a=5-b tìm gtnn của P= 1/a + 1/b
By Margaret
Biết làm mỗi câu 2) Thông cảm nhé !
Ta đi chứng minh BĐT sau : $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} ≥ \dfrac{4}{a+b}$ với $a,b>0$
Thật vậy, BĐT đã cho tương đương :
$(a+b).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) ≥ 4$
Điều này luôn đúng khi sử dụng $AM-GM$.
$a+b ≥2\sqrt[]{ab}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} ≥ 2.\sqrt[]{\dfrac{1}{ab}} $
$⇒ (a+b).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) ≥ 4$
Áp dụng vào bài toán thì :
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} ≥ \dfrac{4}{a+b} = \dfrac{4}{5}$
Do $a=5-b ⇒a+b=5$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=2,5$
Vậy $P_{Min} = \dfrac{4}{5}$ tại $a=b=2,5$
1.
` (a^4+b^4)/2 ≥ ab^3+a^3b-a^2b^2`
$\to$ ` 2a^4+2b^4 ≥ 4ab^3+4a^3b-4a^2b^2`
$\to$ `(2a^4-4a^3b+2a^2b^2)+(2b^4-2ab^3+2a^2b^2) ≥ 0`
$\to$ `2(a^2-ab)^2+2(b^2-ab)^2 ≥ 0` (luôn đúng)
2.
Áp dụng định lý Cauchy, ta có:
`P=1/a+1/b ≥ 4/(a+b)`
`P ≥ 4/5`
Dấu “=” xảy ra khi: `a=b=5/2`
Vậy `P_{min}=4/5` khi `a=b=5/2`