Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa
mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa
mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
Đáp án: Không tồn tại 16 số như vậy.
Giải thích các bước giải:
Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này :
$\overline{aac}$ , $\overline{abc}$ , $\overline{aac}$ , $\overline{bac}$ , $\overline{bbc}$ , $\overline{bcc}$ , $\overline{cac}$ , $\overline{cbc}$ , $\overline{cc}$
Gọi $x_{1}$, $x_{2}$,……. $x_{9}$ là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó $\overline{ x_{i}c }$ $\neq$ $\overline{ x_{j}c }$ ( mod 16 ) ⇔ 16 không là ước của $\overline{ x_{i}c }$, $\overline{ x_{j}c }$ tứt là $\overline{ x_{i} }$, $\overline{ x_{j} }$ không chia hết cho 8
Nhưng trong 9 số $x_{1}$, $x_{2}$,……. $x_{9}$ chỉ có ba số lẻ $\overline{ac}$, $\overline{bc}$, $\overline{cc}$ nên 8 số bất kỳ trong 9 số $x_{1}$, $x_{2}$,……. $x_{9}$ luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra.