Làm giúp em bài này vs nha!!! Tìm số nguyên tố p để các số sau đề là số nguyên số p ² + 4 , p ² + 6 , p ² + 12 15/08/2021 Bởi Reagan Làm giúp em bài này vs nha!!! Tìm số nguyên tố p để các số sau đề là số nguyên số p ² + 4 , p ² + 6 , p ² + 12
Nếu $p=2$ $⇒ p^2 + 4 = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$ (không thỏa mãn) Nếu $p=3$ $⇒ p^2 + 6 = 9 + 6 = 15$ (không thỏa mãn) Nếu $p=5$ $⇒ p^2 + 4 = 25 + 4 = 29$ (thỏa mãn) $⇒ p^2 + 6 = 25 + 6 = 31$ (thỏa mãn) $⇒ p^2 + 12 = 25 + 12 = 37$ (thỏa mãn) Nếu $p>5$ $⇒$ $p$ có dạng $5k+1;5k+2;5k+3;5k+4$ $TH1$. $p=5k+1$ $⇒ p^2 + 4 = (5k+1)(5k+1) + 4 = 25k^2 + 10k + 5 = 5(5k^2 + 2k + 1) \vdots 5$ và lớn hơn $5$ (không thỏa mãn) $TH2$. $p=5k+2$ $⇒ p^2 + 6 = (5k+2)(5k+2) + 6 = 25k^2 + 20k + 10 = 5(5k^2 + 4k + 2) \vdots 5$ và lớn hơn $5$ (không thỏa mãn) $TH3$. $p=5k+3$ $⇒ p^2 + 6 = (5k+3)(5k+3) + 6= 25k^2 + 30k + 15 = 5(5k^2 + 6k + 3) \vdots 5$ và lớn hơn $5$ (không thỏa mãn) $TH4. p = 5k+4$ $⇒ p^2 + 4 = (5k+4)(5k+4) + 4 = 25k^2 + 40k + 20 = 5(5k^2 + 8 + 4) \vdots 5$ và lớn hơn $5$ (không thỏa mãn) Vậy $p=5$ Bình luận
+) Xét $p=2$ thì $p^2 + 4 = 8 \vdots 4$ không là số nguyên tố $\to $ Loại Xét $p=3$ thì $p^2 + 6= 15 \vdots 5$ không là số nguyên tố $\to $ Loại +) Xét $ p =5 $ thì $p^2+4=29, p^2+6=31, p^2 + 12 = 37$ đều là các số nguyên tố $\to$ Chọn $p=5$ +) Xét $p>5$ thì $p$ không chia hết cho $5$ với $p$ nguyên tố. Nên $p$ chia $5$ sẽ có số dư là $1,2,3,4$ Với $p$ chia $5$ dư $1$ thì $p^2 + 4 \vdots 5$ ( Loại ) Với $p$ chia $5$ dư $2$ thì $p^2+6 \vdots 5$ ( Loại ) Với $p$ chia $5$ dư $3$ thì $p^2 +6 \vdots 5$ ( Loại ) Với $p$ chia $5$ dư $4$ thì $p^2+4 \vdots 5$ ( Loại ) Vậy $p=5$ thỏa mãn đề . Bình luận
Nếu $p=2$
$⇒ p^2 + 4 = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$ (không thỏa mãn)
Nếu $p=3$
$⇒ p^2 + 6 = 9 + 6 = 15$ (không thỏa mãn)
Nếu $p=5$
$⇒ p^2 + 4 = 25 + 4 = 29$ (thỏa mãn)
$⇒ p^2 + 6 = 25 + 6 = 31$ (thỏa mãn)
$⇒ p^2 + 12 = 25 + 12 = 37$ (thỏa mãn)
Nếu $p>5$ $⇒$ $p$ có dạng $5k+1;5k+2;5k+3;5k+4$
$TH1$. $p=5k+1$
$⇒ p^2 + 4 = (5k+1)(5k+1) + 4 = 25k^2 + 10k + 5 = 5(5k^2 + 2k + 1) \vdots 5$ và lớn hơn $5$ (không thỏa mãn)
$TH2$. $p=5k+2$
$⇒ p^2 + 6 = (5k+2)(5k+2) + 6 = 25k^2 + 20k + 10 = 5(5k^2 + 4k + 2) \vdots 5$ và lớn hơn $5$
(không thỏa mãn)
$TH3$. $p=5k+3$
$⇒ p^2 + 6 = (5k+3)(5k+3) + 6= 25k^2 + 30k + 15 = 5(5k^2 + 6k + 3) \vdots 5$ và lớn hơn $5$
(không thỏa mãn)
$TH4. p = 5k+4$
$⇒ p^2 + 4 = (5k+4)(5k+4) + 4 = 25k^2 + 40k + 20 = 5(5k^2 + 8 + 4) \vdots 5$ và lớn hơn $5$
(không thỏa mãn)
Vậy $p=5$
+) Xét $p=2$ thì $p^2 + 4 = 8 \vdots 4$ không là số nguyên tố
$\to $ Loại
Xét $p=3$ thì $p^2 + 6= 15 \vdots 5$ không là số nguyên tố
$\to $ Loại
+) Xét $ p =5 $ thì $p^2+4=29, p^2+6=31, p^2 + 12 = 37$ đều là các số nguyên tố
$\to$ Chọn $p=5$
+) Xét $p>5$ thì $p$ không chia hết cho $5$ với $p$ nguyên tố.
Nên $p$ chia $5$ sẽ có số dư là $1,2,3,4$
Với $p$ chia $5$ dư $1$ thì $p^2 + 4 \vdots 5$ ( Loại )
Với $p$ chia $5$ dư $2$ thì $p^2+6 \vdots 5$ ( Loại )
Với $p$ chia $5$ dư $3$ thì $p^2 +6 \vdots 5$ ( Loại )
Với $p$ chia $5$ dư $4$ thì $p^2+4 \vdots 5$ ( Loại )
Vậy $p=5$ thỏa mãn đề .