Làm hộ mình hai câu này với ạ
Câu 1: Dễ
Tìm a nguyên để `A=a^2+4a+2021` là số chính phương
Câu 2: Khó
Cho ba số thực không âm a,b,c thoản mãn ab+bc+ca=1. Tìm GTNN của
`B=(a^2+b^2+c^2+3)/(a+b+c-abc)`
Làm hộ mình hai câu này với ạ
Câu 1: Dễ
Tìm a nguyên để `A=a^2+4a+2021` là số chính phương
Câu 2: Khó
Cho ba số thực không âm a,b,c thoản mãn ab+bc+ca=1. Tìm GTNN của
`B=(a^2+b^2+c^2+3)/(a+b+c-abc)`
Đáp án:
Câu 1 . bn nói vậy chắc bt làm rùi
Hướng làm :
Đặt `a^2 + 4a + 2021 = k^2 (k in Z)`
`<=> k^2 – (a^2 + 4a + 4) = 2017`
`<=> k^2 – (a+ 2)^2 = 2017`
`<=> (k – a – 2)(k + a + 2) = 2017`
Lập bảng :
….
Câu 2 :
Ta có
`∑a^2 + 3 = ∑a^2 + 3∑ab = ∑((a + b)(b + c))`
`∑a – abc = (∑ab)(∑a) – abc = (a + b)(b + c)(c + a)`
Do đó :
`B = (∑a^2 + 3)/(∑a – abc) = (∑((a + b)(b + c)))/((a + b)(b + c)(c + a)) = ∑1/(a + b)`
Không mất tính tổng quát giả sử `c = max{a,b,c}`
`-> (a + b)^2 = (a + b)(a + b) ≤ (c + c)(a + b) = 2c(a + b) ≤ 2∑ab = 2`
`-> a + b < 2`
Dễ dàng cm được `1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) <=> ∑ab = 1`
`1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) = (a + b) – [b^2(a + b)]/(b^2 + 1) ≥ (a + b) – [b^2(a + b)]/(2b) = (a+ b) – [b(a+ b)]/2`
tương tự `-> 1/(a + c) ≥ (a + b) – [a(a + b)]/2`
`-> B = ∑1/(a + b) ≥ 1/(a + b) + 2(a + b) – [a(a + b) + b(a + b)]/2 = 1/(a+ b) + [(a + b)(4 – a – b)]/2`
Đặt `a + b = x (x < 2)` , ta có
`B = 1/x + (x(4 – x))/2 = [(x – 1)^2(2 – x)]/(2x) + 5/2 ≥ 5/2`
Dấu “=” xảy ra `<=> (a,b,c)` là hoán vị của `(0,1,1)`
Vậy `…`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
Câu 1:
`a=2006` hoặc `a=-1010`
Câu 2:
`P=\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}>=5/2`
Giải thích các bước giải:
Câu 1:
Đặt:
`A=a^2+4a+2021=k^2` `(k\in NN)`
`=>(a+2)^2-k^2=-2017`
`<=>(a+2+k)(a+2-k)=-2017`
`<=>` `a=2006` hoặc `a=-1010`
Câu 2:
Đặt: `a+b+c=p`
`ab+bc+ca=q`
`abc=r`
Ta có:
`\frac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}`
`+)` Xét `p>=2`
Ta có:
`\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{p^2+1}{p}>=5/2=\frac{(2p-1)(p-2)}{2p}>=0`
`=>P>=5/2`
`+)` Xét `p<2`
`=>r>=\frac{4q-p^2}{9}=\frac{1}{9}p(2-p)(p+2)`
Áp dụng bất đẳng thức Schur, ta có:
`\frac{p^2+1}{p-r}-5/2>=\frac{(2-p)(5p^2-8p+9)}{2p(p^2+5)}`
`=\frac{(2-p)[5(p-4/5)^2+29/5]}{2p(p^2+5)}>0`
`=>P>5/2`
Vậy `P>=5/2`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b=1` `;` `c=0` và các hoán vị