$\lim_{}\frac{1^{2}+2^{2}+ 3^{2} +…+n^{2} }{n(n+1)(n+2)}$

0 bình luận về “$\lim_{}\frac{1^{2}+2^{2}+ 3^{2} +…+n^{2} }{n(n+1)(n+2)}$”

1. Đáp án + giải thích các bước giải:

   Đặt `A=1^2+2^2+3^2…+n^2`

   Ta có: `n^2=(n-1)n+n`

   `->A=(1-1).1+1+(2-1).2+2+(3-1).3+3…+(n-1)n+n`

   `=1+1.2+2+2.3+3+…+(n-1).n+n`

   `=1+2+…+n+1.2+2.3+3.4+…+(n-1).n`

   `=((n+1)n)/2+1.2+2.3+3.4+…+(n-1).n`

   Đặt `B=1.2+2.3+3.4+..+(n-1).n`

   `->3B=1.2.3+2.3.3+3.4.3+…+(n-1).n.3`

   `=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+…+(n-1).n.[n+1-(n-2)]`

   `=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+…+(n-1).n.(n+1)-(n-1)(n-2)n`

   `=(n-1)n(n+1)`

   `->B=((n-1)n(n+1))/3`

   `->A=((n-1)n(n+1))/3+((n+1)n)/2`

   `=(2(n-1)n(n+1)+3n(n+1))/6`

   `=(n(n+1)(2n-2+3))/6`

   `=(n(n+1)(2n+1))/6`

   `->lim (1^2+2^2+3^2…+n^2)/(n(n+1)(n+2))=lim((n(n+1)(2n+1))/6)/(n(n+1)(n+2))=lim(2n+1)/(6n+12)=lim(n(2+1/n))/(n(6+12/n))=2/6=1/3`

   Bình luận

2. Đáp án:

    `lim\frac{1^2+2^2+3^2+…+n^2}{n(n+1)(n+2)“=1/3`

   Giải thích các bước giải:

   Theo quy nạp toán học ta có: `1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

   Ta có:`lim\frac{1^2+2^2+3^2+…+n^2}{n(n+1)(n+2)“

   `=lim\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n(n+1)(n+2)}`

   `=lim\frac{2n+1}{6n+12}`

   `=lim\frac{2+1/n}{6+12/n}`

   `=2/6=1/3`

   Vậy `lim\frac{1^2+2^2+3^2+…+n^2}{n(n+1)(n+2)“=1/3`

   Bình luận