mọi người giải giúp bài này với ạ: chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24
mọi người giải giúp bài này với ạ: chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24
Đáp án:
Bạn tham khảo nhé!
Giải thích các bước giải:
2n+1 là số chính phương, 2n+1 lẻ \( \Rightarrow 2n + 1 \equiv 1\,\,\left( {\bmod 8} \right)\).
\( \Rightarrow 2n \equiv 0\,\,\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow n \equiv 0\,\,\left( {\bmod 4} \right)\).
=> n là số chẵn
=> n+1 là số lẻ.
Mà n+1 cũng là số chính phương.
\( \Rightarrow n + 1 \equiv 1\,\,\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow n \equiv 0\,\,\left( {\bmod 8} \right)\).
Ta có: \(\left( {n + 1} \right) + \left( {2n + 1} \right) = 3n + 2 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\).
Mà n+1 và 2n+1 là số chính phương, các số chính phương nên \(n + 1 \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) và
\( \Rightarrow n \equiv 0\,\,\left( {\bmod 3} \right)\).
Vì \(\left( {3;8} \right) = 1\) nên \(n \equiv 0\,\,\left( {\bmod 24} \right)\)
Giải thích các bước giải:
vì n+1 và 2n+1đều là số chính phương nên đaựt n+1=k²; 2n+1=m²(k, m ∈N)
ta có m là số lẻ=> m=2a+1=> m²=4a(a+1)+1
\[n = \frac{{{m^2} – 1}}{2} = \frac{{4a(a + 1)}}{2} = 2a(a + 1)\]
=> n chẵn=>n+1 là số lẻ=> k lẻ=>đặt k=2b+1(với b∈N)=>k=4b(b+1)+1
\[ = > n = 4b(b + 1) = > n \vdots 8\]
có:\[{k^2} + {m^2} = 3n + 2 = 2(\bmod 3)\]
mặt khác k² chia 3 dư 0 hoặc 1,m² chia 3 dư 0 hoặc 1
nên để \[{k^2} + {m^2} = 2(\bmod 3) = > {k^2} = 1(\bmod 3)\]
m²=1(mod3)
\[ = > {m^2} – {k^2} \vdots 3hay(2n + 1) – (n + 1) \vdots 3 = > n \vdots 3\]
mà(8;3)=1
=> \[n \vdots 24\]