Mọi người giúp mình câu này với ạ, cảm ơn mọi người nhiều $\int\limits^\pi_0 {\frac { cos(2n+1)x}{cosx}} \, dx$, n ∈ N*

0 bình luận về “Mọi người giúp mình câu này với ạ, cảm ơn mọi người nhiều $\int\limits^\pi_0 {\frac { cos(2n+1)x}{cosx}} \, dx$, n ∈ N*”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Với $ k ∈ N^{*} $ ta có:

   $ \dfrac{cos(2k + 1)x + cos(2k – 1)x}{cosx} = \dfrac{2cos2kxcosx}{cosx} = 2cos2kx$ 

   $ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k + 1)x + cos(2k – 1)x}{cosx} } \, dx $

   $ = \int\limits^π_0 {2cos2kx} \, dx = \dfrac{1}{k}sin2kx|^{π}_{0} = 0$ 

   $ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k + 1)x}{cosx} } \, dx = – \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k – 1)x}{cosx} } \, dx$

   Do đó:

   $ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos3x}{cosx} } \, dx = – \int\limits^π_0 {\dfrac{cosx}{cosx} } \, dx = – \int\limits^π_0 {} \, dx = – x|^{π}_{0} = – π (1)$

   $ – \int\limits^π_0 {\dfrac{cos5x}{cosx} } \, dx = \int\limits^π_0 {\dfrac{cos3x}{cosx} } \, dx(2)$

   $ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos7x}{cosx} } \, dx = – \int\limits^π_0 {\dfrac{cos5x}{cosx} } \, dx(3)$

   $……………………………………..$

   $ ( – 1)^{n + 1} \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = (- 1)^{n}\int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n – 1)x}{cosx} } \, dx (n)$

   $(1) + (2) + …+(n): ( – 1)^{n + 1} \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = – π$

   $ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = ( – 1)^{n}π$

    

   Bình luận