Mong các chuyên gia toán giúp đỡ ạ . Hạn đến hết sáng thứ 3
Cho a,b,c > 0 ; a+b+c=3 . Tìm GTNN của biểu thức :
P= $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$
Mong các chuyên gia toán giúp đỡ ạ . Hạn đến hết sáng thứ 3
Cho a,b,c > 0 ; a+b+c=3 . Tìm GTNN của biểu thức :
P= $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng Engel ta có
` P = 1/a +1/b + 1/c \ge ( (1+1+1)^2)/(a+b+c) = 9/(a+b+c) = 9/3 = 3`
Vậy GTNN của `P = 3` , dấu `=` xảy ra khi
$\begin{cases} a = b = c \\\\ a + b + c = 3 \end{cases} ⇔ a = b = c= 1$
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`P=1/a+1/b+1/c`
`\to 3P=3(1/a+1/b+1/c)`
`=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`
`=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`
`=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`
`=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `a;b;c>0` ta có:
`a/b+b/a≥2\sqrt{a/b.(b)/a}=2`
`a/c+c/a≥2\sqrt{a/c.(c)/a}=2`
`b/c+c/b≥2\sqrt{b/c.(c)/b}=2`
`\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6`
`\to 3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥9`
`\to 3P≥9`
`\to P≥3`
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
`a=b=c`
Vậy $P_{min}=3$ khi `a=b=c`