Một bán cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện mặt Ф, được đặt trong không khí. Cường độ điện trường tại tâm bán cầu là:

0 bình luận về “Một bán cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện mặt Ф, được đặt trong không khí. Cường độ điện trường tại tâm bán cầu là:”

1. Đáp án:

   \(E = \dfrac{{k\Phi \pi }}{3}\) 

   Giải thích các bước giải:

   Chọn gốc tọa độ tại tâm O của bán cầu.

   Xét một vành điện tích trên bán cầu ta có:

   \[dq = \Phi dS = \Phi \pi {r^2}dx = \Phi \pi \left( {{R^2} – {x^2}} \right)dx\]

   Điện trường do vành điện đó gây ra tại tâm O là:

   \[dE = \dfrac{{kdq}}{{{R^2}}}.\cos \alpha  = \dfrac{{kdq}}{{{R^2}}}.\dfrac{x}{R} = \dfrac{{kxdq}}{{{R^3}}} = \dfrac{{kx\Phi \pi \left( {{R^2} – {x^2}} \right)dx}}{{{R^3}}}\] 

   Ta lấy tích phân cho công thức trên thu được kết quả:

   \[\begin{array}{l}
   E = \dfrac{{k\Phi \pi }}{{{R^3}}}\int\limits_0^R {x\sqrt {{R^2} – {x^2}} dx} \\
    = \dfrac{{k\Phi \pi }}{{2{R^3}}}\int\limits_0^R {\sqrt {{R^2} – {x^2}} d{x^2}} \\
    =  – \dfrac{{k\Phi \pi }}{{2{R^3}}}\int\limits_0^R {\sqrt {{R^2} – {x^2}} d\left( {{R^2} – {x^2}} \right)} \\
    =  – \dfrac{{k\Phi \pi }}{{2{R^3}}}.\dfrac{2}{3}\left( {\sqrt {{{\left( {{R^2} – {R^2}} \right)}^3}}  – \sqrt {{{\left( {{R^2} – 0} \right)}^3}} } \right)\\
    = \dfrac{{k\Phi \pi }}{3}
   \end{array}\]

   Trả lời