một pin có suất điện động 1,5V, phát dòng điện cực đại 4A. Hỏi công suất mạch ngoài của pin đạt cực đại là bao nhiêu?

Đáp án:

 1,5 W.

Giải thích các bước giải:

 Gọi suất điện động, điện trở trong của nguồn là E và r.

Điện trở mạch ngoài là biến trở R.

Cường độ dòng điện trong mạch là:

\(I = \frac{E}{{r + R}}\)

Cường độ dòng điện đạt cực đại khi:

\(\begin{gathered}
  {I_{\max }} \Leftrightarrow \left( {r + R} \right)\min  \Leftrightarrow R = 0 \hfill \\
   \Rightarrow {I_{\max }} = \frac{E}{r} \Rightarrow 4 = \frac{{1,5}}{r} \Rightarrow r = 0,375\,\,\left( \Omega  \right) \hfill \\ 
\end{gathered} \)

Công suất mạch ngoài là:

\(\begin{gathered}
  P = {I^2}R = \frac{{{E^2}R}}{{{{\left( {r + R} \right)}^2}}} = \frac{{{E^2}}}{{R + \frac{{{r^2}}}{R} + 2r}} \hfill \\
  {P_{\max }} \Leftrightarrow \left( {R + \frac{{{r^2}}}{R} + 2r} \right)\min  \Leftrightarrow \left( {R + \frac{{{r^2}}}{R}} \right)\min  \hfill \\ 
\end{gathered} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(R + \frac{{{r^2}}}{R} \geqslant 2\sqrt {R.\frac{{{r^2}}}{R}}  = 2r\)

(dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow R = \frac{{{r^2}}}{R} \Rightarrow R = r = 0,375\,\,\Omega \))

Vậy \({P_{\max }} = \frac{{{E^2}}}{{4r}} = \frac{{1,{5^2}}}{{4.0,375}} = 1,5\,\,\left( {\text{W}} \right)\)