Nếu $x_{1}$ , $x_{2}$ là hoành độ giao điểm của parabol y = $x^{2}$ và đường thẳng y = – ( m+1) x -m thì $x_{1} ^{2}$ + $x_{2} ^{2}$ có GTNN là:
Nếu $x_{1}$ , $x_{2}$ là hoành độ giao điểm của parabol y = $x^{2}$ và đường thẳng y = – ( m+1) x -m thì $x_{1} ^{2}$ + $x_{2} ^{2}$ có GTNN là:
By Vivian
Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` ta có:
`x^2=-(m+1)x-m`
`<=>x^2+(m+1)x+m=0`
`Delta=(m+1)^2-4.1.m`
`=m^2+2m+1-4m`
`=m^2-2m+1`
`=(m-1)^2\geq0∀m∈RR`
`=>(P)` luôn cắt `(d)`
Theo hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=-(m+1)(3)\\x_1x_2=m(4)\end{cases}$
Đặt `A=x_1^2+x_2^2`
`=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2`
`=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2` `(5)`
Thế `(3)` và `(4)` vào `(5)` ta được:
`[-(m+1)]^2-2m`
`=(m+1)^2-2m`
`=m^2+2m+1-2m`
`=m^2+1\geq1∀m`
`=>A_min=1` khi `m^2=0<=>m=0`
Vậy `m=0` thì `A_min=1`
Đáp án:`x_1^2+x_2^2=1<=>m=0`
Giải thích các bước giải:
HĐ giao điểm là nghiệm phương trình.
`x^2=-(m+1)x-m`
`<=>x^2+(m+1)+m=0`
PT có 2 nghiệm
`<=>Delta>=0`
`<=>m^2+2m+1-4m>=0`
`<=>m^2-2m+1>=0`
`<=>(m-1)^2>=0`(luôn đúng).
Áp dụng vi-ét ta có:
`x_1+x_2=-m-1,x_1.x_2=m`
`x_1^2+x_2^2`
`=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2`
`=(m+1)^2-2m`
`=m^2+1>=1`
Dấu “=” xảy ra khi `m=0`