Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: 3sin ²x – ( 1 + √3) sin2x + ( 2√3 + 1) cos²x = 1 có dạng aπ/b,a∈ Z, b ∈ Z* , (a;b) = 1. Khi đó a + b = ?

Đáp án: $5$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$3\sin^2x-(1+\sqrt{3})\sin2x+(2\sqrt{3}+1)\cos^2x=1$

$\to 3\sin^2x-(1+\sqrt{3})\sin2x+(2\sqrt{3}+1)\cos^2x=\sin^2x+\cos^2x$

$\to 2\sin^2x-(1+\sqrt{3})\sin2x+2\sqrt{3}\cos^2x=0$

$\to 2\sin^2x-(1+\sqrt{3})\cdot 2\sin x\cos x+2\sqrt{3}\cos^2x=0$

$\to \sin^2x-(1+\sqrt{3})\cdot \sin x\cos x+\sqrt{3}\cos^2x=0(1)$

Thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình

$\to \cos x\ne 0$

$\to $Chia cả $2$ vế của $(1)$ cho $\cos^2x$ ta được

$(\dfrac{\sin x}{\cos x})^2-(1+\sqrt{3})\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}+\sqrt{3}=0$

$\to \tan^2x-(1+\sqrt{3})\cdot \tan x+\sqrt{3}=0$

$\to (\tan x-1)(\tan x-\sqrt{3})=0$

$\to\tan x=1\to x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ hoặc $\tan x=\sqrt{3}\to x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

$\to$Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:

$x=\dfrac{\pi}{4}\to a=1, b=4\to a+b=5$