Người ta viết 5 số tự nhiên vào 1 hàng duy nhất a1,a2,a3,a4,a5 . CMR hoăcj 1 trong các số đó chia hết cho 5 , hoặc tổng 1 số tự nhiên kề nhau chia hết

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét 5 tổng: S₁ = a₁

                   S₂ = a₁ + a₂

                   S₃ = a₁ + a_{2 ­}+ a₃

                   S₄ = a₁ + a_{2 ­}+ a₃ + a₄                                                                                                                             S₅ = a₁ + a_{2 ­}+ a₃ + a₄ + a₅

      Nếu một trong các số đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải xong. Trong trường hợp trái lại, khi chia cho 5 thì mỗi số sẽ có một số dư nào đó trong 4 số: 1, 2, 3, 4. Theo lý Dirichlet ít nhất 2 trong 5 số đó có cùng số dư. Vậy hiệu của hai tổng đó chia hết cho 20. Chẳng hạn hai tổng đó là S_m và Sn  thì:

                          S_m – Sn (a_1­+a₂+…+an+…+a_m)- (a_1­+a₂+…+an)                     

                                      = a_n+1 + a_n+2 +…+a_m

             Mà (S_m – Sn)5 (chứng minh trên)

             Và a_n+1 + a_n+2 +…+a_m là tổng một số số tự nhiên kề nhau.

             Vậy tổng một số số tự nhiên kề nhau chia hết cho 5.