P=(1/x-2 – x^2/8-x^3 × x^2+2x+4/x+2) ÷ 1/x^2+4 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P c) Tìm các

a) $P = \bigg(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x^2}{8-x^3} . \dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\bigg):\dfrac{1}{x^2-4}$

$ĐKXĐ : x \neq 2, x \neq -2$

Ta có : $P = \bigg(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x^2}{8-x^3} . \dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\bigg):\dfrac{1}{x^2-4}$

$ = \bigg(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x^2}{x^3-8}.\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\bigg).(x^2-4)$

$ = \bigg(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x^2}{(x-2).(x^2+2x+4)}.\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\bigg).(x^2-4)$ 

 $ = \bigg(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x^2}{(x-2).(x+2)}\bigg).(x^2-4)$

$ = \dfrac{x^2+x+2}{x^2-4}.(x^2-4) = x^2+x+2$

Vậy $P=x^2+x+2$ với $x \neq 2,  x \neq -2$

b) Ta có $P = x^2+x+2=\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2+\dfrac{7}{4} ≥ \dfrac{7}{4}$

Dấu “=” đat được khi $x=-\dfrac{1}{2}$

Vậy Min $P = \dfrac{7}{4}$ khi $x=-\dfrac{1}{2}$

c) Có $x^2+x+2 \vdots x^2+1$

$\to x+1 \vdots x^2+1$

$\to (x-1).(x+1) \vdots x^2+1$

$\to x^2+1-2 \vdots x^2+1$

$\to 2 \vdots x^2+1$

Mà $x^2+1 ≥ 1$ nên $x^2+1 ∈ \bigg\{1,2\bigg\}$

$\to x^2 \in \bigg{0,1\bigg\}$

$\to x \in \{0,-1,1\bigg\}$ ( T/m ĐKXĐ )