Phương trình: x^2 – 2(m + 2)x + m^2 – 4 = 0. Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1/x2 – x2/x1 = 8

Đáp án:

\(m = \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{2}\)

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \to \Delta ‘ \ge 0\\
 \to {m^2} + 4m + 4 – {m^2} + 4 \ge 0\\
 \to 4m + 8 \ge 0\\
 \to m \ge  – 2\\
Vi – et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 4\\
{x_1}{x_2} = {m^2} – 4
\end{array} \right.\\
\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} – \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 8\\
 \to \dfrac{{{x_1}^2 – {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 8\\
 \to \dfrac{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = 8\\
 \to \left( {2m + 4} \right)\left( {{x_1} – {x_2}} \right) = 8\left( {{m^2} – 4} \right)\left( {DK:m \ne  \pm 2} \right)\\
 \to 2\left( {m + 2} \right)\left( {{x_1} – {x_2}} \right) = 8\left( {m – 2} \right)\left( {m + 2} \right)\\
 \to \left( {m + 2} \right)\left( {{x_1} – {x_2} – 4\left( {m – 2} \right)} \right) = 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m =  – 2\left( l \right)\\
{x_1} – {x_2} = 4\left( {m – 2} \right)
\end{array} \right.\\
 \to {x_1}^2 – 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = 16\left( {{m^2} – 4m + 4} \right)\left( {DK:m > 2} \right)\\
 \to {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 – 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} – 64m + 64\\
 \to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} – 64m + 64\\
 \to 4{m^2} + 16m + 16 – 4\left( {{m^2} – 4} \right) = 16{m^2} – 64m + 64\\
 \to 16{m^2} – 80m + 32 = 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{2}\\
m = \dfrac{{5 – \sqrt {17} }}{2}\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)