a+b+c=1, a^2+b^2+c^2=1 ,a^3+b^3+c^3=1. Tính giá trị biểu thức P= a^2018+b^2018+c^2018

0 bình luận về “a+b+c=1, a^2+b^2+c^2=1 ,a^3+b^3+c^3=1. Tính giá trị biểu thức P= a^2018+b^2018+c^2018”

1. Đáp án: $P=1$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $\begin{split}a^3+b^3+c^3&=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3\\&=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)\\&=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b)\\&=(a+b+c)^3-3(a+b)(ca+cb+c^2+ab)\\&=(a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c)\end{split}$

   $\to 1=1^3-3(a+b)(b+c)(c+a)$

   $\to (a+b)(b+c)(c+a)=0$

   $\to (1-c)(1-a)(1-b)=0$

   $\to 1-c=0$ hoặc $1-a=0$ hoặc $1-b=0$

   Giả sử $1-a=0$ (Hai trường hợp kia tương tự)

   $\to a=1$

   $\to 1^2+b^2+c^2=1$

   $\to b^2+c^2=0$

   $\to b^2=c^2=0\to b=c=0$

   $\to P=1^{2018}+0^{2018}+0^{2018}=1$

   Trả lời

2.  

   Giải thích các bước giải:

    Ta có : $a^2+b^2+c^2=1$

   $\to |a| ≥ 1, |b| ≥ 1; |c| ≥ 1$

   $\to a,b,c≤1$

   Vì $a^3+b^3+c^3 = 1$ và $a^2+b^2+c^2=1$

   $\to a^3+b^3+c^3 = a^2+b^2+c^2$

   $\to a^2.(1-a)+b^2.(1-b)+(c^2.(1-c) = 0 $

   Dấu “=” xảy ra $⇔\left\{ \begin{array}{l}a^2.(1-a)=0\\b^2.(1-b)=0\\c^2.(1-c)=0\end{array} \right.$ $⇔\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a=0\\a=1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}b=1\\c=1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}b=0\\c=1\end{array} \right.\end{array} \right.$ (1)

   Vì điều kiện ràng buộc $a+b+c=1$ nên từ (1) suy ra trong ba số $a,b,c$ sẽ có 1 số $=1$ , hai số còn lại $=0$

   Khi đó $P = 1$

   Trả lời