áp dụng bất đẳng thức cosi tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) y=3x/2+1/x+1,x>-1 b) y=x^3+2/x^3

0 bình luận về “áp dụng bất đẳng thức cosi tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) y=3x/2+1/x+1,x>-1 b) y=x^3+2/x^3”

1. Đáp án:

    a) \(Min = \sqrt 6  – \dfrac{3}{2}\)

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   a)y = \dfrac{{3x}}{2} + \dfrac{1}{{x + 1}}\left( {x >  – 1} \right)\\
    = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right) – 3}}{2} + \dfrac{1}{{x + 1}}\\
    = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{2} + \dfrac{1}{{x + 1}} – \dfrac{3}{2}\\
   Do:x >  – 1\\
   BDT:Co – si:\\
   \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{2} + \dfrac{1}{{x + 1}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{2}.\dfrac{1}{{x + 1}}}  = \sqrt 6 \\
    \to \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{2} + \dfrac{1}{{x + 1}} – \dfrac{3}{2} \ge \sqrt 6  – \dfrac{3}{2}\\
    \to Min = \sqrt 6  – \dfrac{3}{2}\\
    \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{2} = \dfrac{1}{{x + 1}}\\
    \to {\left( {x + 1} \right)^2} = \dfrac{2}{3}\\
    \to \left[ \begin{array}{l}
   x = \sqrt {\dfrac{2}{3}}  – 1\\
   x =  – \sqrt {\dfrac{2}{3}}  – 1\left( l \right)
   \end{array} \right.\\
   b)y = \dfrac{{{x^3}}}{1} + \dfrac{2}{{{x^3}}}\\
   Xét:x > 0\\
   BDT:Co – si:\dfrac{{{x^3}}}{1} + \dfrac{2}{{{x^3}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{1}.\dfrac{2}{{{x^3}}}}  = 2\sqrt 2 \\
    \to Min = 2\sqrt 2 \\
    \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3}}}{1} = \dfrac{2}{{{x^3}}}\\
    \to {x^6} = 2\\
    \to x = \sqrt[6]{2}
   \end{array}\)

   Trả lời