Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A= $\frac{1}{$a^{2}$ +$2b^{2}$ +3}$ + $\frac{1}{$b^{2}$ +$2c^{2}$ +3}$ + $\frac{1}{$c^{2}$ +$2a^{2}$ +3 }$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= $\frac{1}{$a^{2}$ +$2b^{2}$ +3}$ + $\frac{1}{$b^{2}$ +$2c^{2}$ +3
By Valerie
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
1/a^2+2b^2+3= 1/a^2+b^2+b^2+1+2
Vì a^2+b^2>=2ab; b^2+1>=2b
=>1/a^2+b^2+b^2+1+2 <=1/2ab+2b+2=1/2. 1/ab+b+1
Tương tự ta có: 1/b^2+2c^2+3 <=1/2. 1/bc +c+1; 1/c^2+2a^2+3 <=1/2. 1/ca+c+1
=>1/a^2+2b^2+3 +1/b^2+2c^2+3 +1/c^2+a^2+3<=1/2. (1/ab+a+1 +1/bc+b+1 +1/ca+c+1)
Lại có:
1/ab+a+1 +1/bc+b+1 +1/ca+c+1
= abc/ab+a+1 +1/bc+b+1 +abc/ca+c+1
=abc/ab+a+abc +1/bc+b+1 +abc/ca+c+abc
=bc/b+1+bc +1/bc+b+1 +abc/ca+abc.c+abc
=bc/b+1+bc +1/bc+b+1 +b/1+bc+b
=bc+b+1/bc+b+1
=1
=>1/a^2+2b^2+3 +1/b^2+2c^2+3 +1/c^2+2a^2+3<=1/2.1=1/2
Dấu”=“ xảy ra <=>a=1; b=-1; c=1 và các hoán vị của chúng
Chúc bạn học tốt