Cho chóp đều S.ABC tất cả cạnh =a . Mp P song song đáy (ABC) cắt SA,SB,SC tại M,N,P . Tính diện tích tam giác MNP biết mp P chia khối chóp 2p thể tíc

Question

Cho chóp đều S.ABC tất cả cạnh =a . Mp P song song đáy (ABC) cắt SA,SB,SC tại M,N,P . Tính diện tích tam giác MNP biết mp P chia khối chóp 2p thể tích = nhau .

in progress 0
Eliza 3 tuần 2021-09-08T14:01:17+00:00 1 Answers 1 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-08T14:02:23+00:00

    Gọi G là tâm tam giác ABC, khi đó $SG \perp (ABC)$.

    Gọi AG giao BC tại M, khi đó M là trung điểm BC và $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

    Vậy $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} .a . \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

    Ta có (P) cắt chóp S.ABC thành 2 đa diện là S.MNP và MNP.ABC.

    Do đó $V_{S.MNP} = V_{MNP.ABC} = \dfrac{1}{2} V_{S.ABC}$

    Mặt khác, do (P)//(ABC) nên ta có $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC}$.

    Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có

    $\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SM}{SA}. \dfrac{SN}{SB}. \dfrac{SP}{SC} = \left( \dfrac{SM}{SA} \right)^3 = \dfrac{1}{2}$

    Vậy $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

    Do đó tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

    Vậy $S_{MNP} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} S_{ABC}$.

    Do đó

    $S_{MNP} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} . \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^2 \sqrt[6]{108}}{8}$.

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )