Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên giúp minh nhé!

Question

Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên
giúp minh nhé!

in progress 0
Aaliyah 2 tuần 2021-07-07T15:08:31+00:00 2 Answers 0 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-07T15:09:33+00:00

    Đáp án:

    Giải thích các bước giải:

    Ta có:

    `+)f(0)∈ZZ⇒a.0^2+b.0+c∈ZZ⇒c∈ZZ(1)`

    `+)f(1)∈ZZ⇒a+b+c∈ZZ`

    `+) f(-1)∈ZZ⇒a-b+c∈ZZ`

    `+)f(\frac{1}{2})⇒\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c∈ZZ`

    Từ `(1)⇒a+b,a-b,\frac{a}{4}+\frac{b}{2}∈ZZ`

    Do đó:

    `+)(a+b)+(a-b)∈ZZ⇒2a=x∈ZZ`

    `+)(a+b)-(a-b)∈ZZ⇒2b∈ZZ⇒4b=2y∈ZZ`

    `+)\frac{a}{4}+\frac{b}{2}⇒frac{a+2b}{4}=\frac{2a+4b}{8}∈Z⇒2a+4b` chẵn

    `⇒x+2y` chẵn mà `2y` chẵn`⇒x` chẵn`⇒\frac{x}{2}∈ZZ⇒a∈ZZ(2)`

    Lại có `a+b∈ZZ⇒b∈ZZ(3)`

    Từ `(1)(2)(3)⇒`đpcm

    0
    2021-07-07T15:10:23+00:00

    Giải thích các bước giải:

    Ta có $f(0)\in Z$

    $\to a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\in Z$

    $\to c\in Z$

    Ta có $f(1), f(-1), f(\dfrac12)\in Z$

    $\to \begin{cases} a\cdot1^2+b\cdot 1+c\in Z\\a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1)+c\in Z\\a\cdot(\dfrac12)^2+b\cdot (\dfrac12)+c\in Z\end{cases}$

    $\to \begin{cases} a+b+c\in Z\\ a-b+c\in Z\\ \dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\in Z\end{cases}$

    Vì $c\in Z$

    $\to \begin{cases} a+b\in Z\\ a-b\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$

    $\to \begin{cases} (a+b)+(a-b)\in Z\\ (a+b)-(a-b)\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$

    $\to \begin{cases} 2a\in Z\\ 2b\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$

    $\to \begin{cases} 2a=x, x\in Z\\ 2b=y, y\in Z\\ \dfrac{a+2b}{4}\in Z\end{cases}$

    $\to \begin{cases} a=\dfrac{x}2, x\in Z\\ b=\dfrac{y}2, y\in Z\\ \dfrac{\dfrac{x}2+2\cdot \dfrac{y}2}{4}\in Z\end{cases}$

    Vì $ \dfrac{\dfrac{x}2+2\cdot \dfrac{y}2}{4}\in Z$

    $\to \dfrac{x+2y}{8}\in Z$

    $\to x+2y\quad\vdots\quad 8$ vì $x, y\in Z$

    $\to x+2y$ chẵn

    Mà $2y$ chẵn

    $\to x$ chẵn

    $\to \dfrac{x}2\in Z$

    $\to a\in Z$

    Do $a+b\in Z$

    $\to b\in Z$

    $\to a, b, c\in Z$

    $\to đpcm$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )