Cho đường tròn (O,R), đường kính CD vẽ cung AB=90°(B nằm giữa A và D. AC, BD kéo dài cắt nhau tại M, CB cắt AD tại K; KM cắt CD tại H
a. Chứng minh tứ giác AKBM nội tiếp được đường tròn
b. Chứng minh MK ⊥ CD
c. Tính góc MHB
Cho đường tròn (O,R), đường kính CD vẽ cung AB=90°(B nằm giữa A và D. AC, BD kéo dài cắt nhau tại M, CB cắt AD tại K; KM cắt CD tại H a. Chứng minh tứ
By Emery
Đáp án:
Từ KE=KC thì ta có được △KEC vuông cân tại K ⇒ ∠C1=45° (đ/n)
Vì K và H cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông nên BCKH nội tiếp (bài toán cung chứa góc) ⇒ ∠B1=C1ˆC1^=45° (nội tiếp cùng chắn KH⌢KH⌢)
Xét △OBK có: OB=OK (cùng là bán kính) ⇒ △OBK cân tại O (đ/n)
⇒ BOKˆBOK^=180°-2*B1ˆB1^=180°-2*45°=180°-90°=90° (t/c) ⇒ OK ⊥ OB (đ/n), mà MN ⊥ OB (gt) ⇒ OK // MN (từ vuông góc đến song song) (đpcm)
Ta kẻ thêm đường kính KOP của đường tròn (O), thì ta có KP // MN và KP=2R
Xét (O) có: KP và MN là 2 dây song song với nhau chắn 2 cung KN⌢KN⌢ và PM⌢PM⌢ ⇒ KN⌢KN⌢=PM⌢PM⌢ (t/c) ⇒ KN=PM (2 dây căng cung bằng nhau)
Ta có: KMPˆKMP^=90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ △KMP vuông tại M (đ/n) ⇒ KP2=KM2+PM2 (đ/l Py-ta-go)
Từ đó suy ra KM2+KN2=(2R)2=4R2 (đpcm)