Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm nằm bất kỳ trên nửa đường tròn sao cho C khác A và B và AC < CB. D thuộc cung BC sao cho góc DOC bằng 90 độ. E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm nằm bất kỳ trên nửa đường tròn sao cho C khác A và B và AC < CB. D thuộc cung BC sao cho gó
By Skylar
Đáp án:
Ta có ∠ACB=∠ADB=90o∠ACB=∠ADB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒∠FCE=∠FDE=90o⇒∠FCE=∠FDE=90o
Tứ giác CEDF có: ∠FCE+∠FDE=180o∠FCE+∠FDE=180o
Mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác CEDF.CEDF.
⇒⇒ CEDF là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2) Chứng minh FC.FA=FD.FBFC.FA=FD.FB.
Xét ΔFCBΔFCB và ΔFDAΔFDA có:
∠Fchung∠FCB=∠FDA=900∠Fchung∠FCB=∠FDA=900
⇒ΔFCB∼ΔFDA(g−g)⇒FCFD=FBFA⇒ΔFCB∼ΔFDA(g−g)⇒FCFD=FBFA (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒FC.FA=FD.FB(dpcm).⇒FC.FA=FD.FB(dpcm).
3) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O)(O).
Ta có: OA=OC=R⇒ΔOACOA=OC=R⇒ΔOAC cân tại O ⇒∠OAC=∠OCA⇒∠OAC=∠OCA (hai góc kề đáy của tam giác cân) (1)
Lại có: I là trung điểm của EF, ΔECFΔECF vuông tại CC
⇒IC=IF=IE⇒IC=IF=IE (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
⇒ΔICF⇒ΔICF cân tại I ⇒∠ICF=∠IFC⇒∠ICF=∠IFC (hai góc kề đáy của tam giác cân) (2)
Xét ΔFABΔFAB có AD⊥BF;BC⊥AF;AD∩BC={E}AD⊥BF;BC⊥AF;AD∩BC={E}
⇒⇒ E là trực tâm của ΔFABΔFAB ⇒FE⊥AB⇒FE⊥AB (ba đường cao của tam giác cắt nhau tại 1 điểm).
Gọi FE vuông góc với AB tại H
Xét ΔFHAΔFHA vuông tại H ⇒∠HFA+∠HAF=90o⇒∠HFA+∠HAF=90o hay ∠IFC+∠OAC=90o(3)∠IFC+∠OAC=90o(3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒∠ICF+∠OCA=∠IFC+∠OAC=90o⇒∠ICF+∠OCA=∠IFC+∠OAC=90o (cmt)
⇒∠ICO=90o⇒IC⊥OC⇒∠ICO=90o⇒IC⊥OC
Kết hợp C∈(O)⇒C∈(O)⇒ IC là tiếp tuyến của (O)(O). (đpcm)
Giải thích các bước giải: