Cho phương trình (x+1) [m(x^2-2x+2)+x^2-2x-3]=0 với tham số m.Tìm m để phương trình có nghiệm 3 nghiệm phân biệt.Giúp mình nhe thanks
Cho phương trình (x+1) [m(x^2-2x+2)+x^2-2x-3]=0 với tham số m.Tìm m để phương trình có nghiệm 3 nghiệm phân biệt.Giúp mình nhe thanks
By Aubrey
Đáp án:
\[\left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m < 4\\
m \ne 0
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {x + 1} \right).\left[ {m\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + {x^2} – 2x – 3} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
m\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + {x^2} – 2x – 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
\left( {m + 1} \right){x^2} – 2.\left( {m + 1} \right)x + \left( {2m – 3} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \( – 1\) hay:
\(\begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right){x^2} – 2.\left( {m + 1} \right)x + \left( {2m – 3} \right) = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ne 0\\
\Delta ‘ > 0\\
\left( {m + 1} \right).{\left( { – 1} \right)^2} – 2.\left( {m + 1} \right).\left( { – 1} \right) + 2m – 3 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
{\left( {m + 1} \right)^2} – \left( {m + 1} \right).\left( {2m – 3} \right) > 0\\
m + 1 + 2m + 2 + 2m – 3 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
\left( {m + 1} \right).\left[ {\left( {m + 1} \right) – \left( {2m – 3} \right)} \right] > 0\\
5m \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
m \ne 0\\
\left( {m + 1} \right).\left( {m – 4} \right) < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
m \ne 0\\
– 1 < m < 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m < 4\\
m \ne 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m < 4\\
m \ne 0
\end{array} \right.\)