Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G’. CMR: a) tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm trùng nhau. b) AA’ +

0 bình luận về “Cho tam giác ABC có trọng tâm G và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G’. CMR: a) tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm trùng nhau. b) AA’ +”

1. Đáp án: `vec{AA’} + vec{BB’} + vec{CC’} = 3vec{GG’}`

   Giải thích các bước giải:

   – Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`

   `=> vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = 0`

   – Vì `G’` là trọng tâm của `ΔABC`

   `=> vec{G’A’} + vec{G’B’} + vec{G’C’} = 0`

   – Áp dụng quy tắc 3 điểm, ta có:

   `vec{AA’} = vec{AG} + vec{GG’} + vec{G’A’}`

   `vec{BB’} = vec{BG} + vec{GG’} + vec{G’B’}`

   `vec{CC’} = vec{CG} + vec{GG’} + vec{G’C’}`

   `=> vec{AA’} + vec{BB’} + vec{CC’} = vec{AG} + vec{GG’} + vec{G’A’} + vec{BG} + vec{GG’} + vec{G’B’} + vec{CG} + vec{GG’} + vec{G’C’}`

   `=> vec{AA’} + vec{BB’} + vec{CC’} = (vec{AG} + vec{BG} + vec{CG}) + 3vec{GG’} + (vec{G’A’} + vec{G’B’} + vec{G’C’}`

   `=> vec{AA’} + vec{BB’} + vec{CC’} = vec{0} + 3vec{GG’} + vec{0}`

   `=> vec{AA’} + vec{BB’} + vec{CC’} = 3vec{GG’}`                                        

    

   Trả lời

2. b) Do G là trọng tâm tam giác ABC và G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên ta có
   $\begin{cases}
   \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\\
   \vec{G’A’} + \vec{G’B’} + \vec{G’C’} = \vec{0}
   \end{cases}$
   Khi đó, ta có
   \begin{align*}
   VT = \vec{AA’} + \vec{BB’} + \vec{CC’} = &\vec{AG} + \vec{GG’} + \vec{G’A’} \\
   &+ \vec{BG} + \vec{GG’} + \vec{G’B’}\\
   &+ \vec{CG} + \vec{GG’} + \vec{G’C’}\\
   =& -(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})\\
   &+ (\vec{G’A’} + \vec{G’B’} + \vec{G’C’})\\
   &+ 3\vec{GG’}\\
   =& -\vec{0} + \vec{0} + 3 \vec{GG’} = 3 \vec{GG’} = VP
   \end{align*}
   Giả sử trọng tâm tam giác ABC và trọng tâm tam giác A’B’C’ trùng nhau, khi đó ta có đẳng thức
   $\vec{AA’} + \vec{BB’} + \vec{CC’} = \vec{0}$
   Ngược lại, nếu ta có đẳng thức
   $\vec{AA’} + \vec{BB’} + \vec{CC’} = \vec{0}$
   thì hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm.
   Vậy để 2 tam giác có trọng tâm trùng nhau thì điều kiện cần và đủ là
   $\vec{AA’} + \vec{BB’} + \vec{CC’} = \vec{0}$

   Trả lời