Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm cạnh AB, E là điểm đối xứng với B qua C, F là điểm đối xứng với B qua D. Hỏi mặt phẳng MEF cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?
Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm cạnh AB, E là điểm đối xứng với B qua C, F là điểm đối xứng với B qua D. Hỏi mặt phẳng
By Abigail
Giải thích các bước giải:
gọi ME cắt AC tại K, MF cắt AB tại H
Xét ΔABE có: E∈BC, M∈AB, K∈AC
=> Theo định lý Menelaus ta có:
$\frac{{AM}}{{MB}}.\frac{{BE}}{{CE}}.\frac{{CK}}{{KA}} = 1$
=> $\frac{{CK}}{{KA}} = \frac{{MB}}{{AM}}.\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{1}{2}$
=> K là trung điểm BC
Tương tự: H là trung điểm AD
=> Xét ΔABD có: M, H là trung điểm AB, AD
=> MH là đường trung bình ΔABD
=> MH//BD
tương tự: KH//CD, MK//BC
=> (MHK)//(BCD)
=> V.SMHK=(1/2)³V.SABCD=1/8V.SABCD
=> S.MHK . d(A,(MHK))=1/8 S.BCD . d(A,(BCD))
=> S.MHK=1/8 . 2 . S.BCD =1/4S.BCD=1/4.$\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}$=$\frac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^3}$