Cho x,y,z là ba số nguyên khác nhau. Chứng minh nếu a=x^2-yz; b=y^2-xz; c=z^2-xy thì tổng ax+by+cz chia hết cho (a+b+c)

0 bình luận về “Cho x,y,z là ba số nguyên khác nhau. Chứng minh nếu a=x^2-yz; b=y^2-xz; c=z^2-xy thì tổng ax+by+cz chia hết cho (a+b+c)”

1. Đáp án:

   ax+by+cz chia hết cho a+b+c

   Giải thích các bước giải:

   Từ giả thiết

   x^2 – yz = a

   y^2 – zx = b

   z^2 – xy = c

   ta suy ra

   x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx = a + b + c # 0 (vì x,y,z không đồng thời bằng nhau);

   và

   x^3 – xyz = ax

   y^3 – xyz = by

   z^3 – xyz = cz.

   Cộng các đẳng thức theo vế, ta được

   x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = ax + by + cz.

   Sử dụng hằng đẳng thức x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) và x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx = a + b + c thì đẳng thức trên được viết lại

   (x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz.

   Suy ra ax + by + cz chia hết cho a + b + c.

   Trả lời