CHỨNG MINH BĐT a, 2(a^3+b^3)>= (a+b)(a^2+b^2) với a,b>0 b, 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 với a, b>0

0 bình luận về “CHỨNG MINH BĐT a, 2(a^3+b^3)>= (a+b)(a^2+b^2) với a,b>0 b, 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 với a, b>0”

1. a)

   `2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2)`

   `⇔2(a^3+b^3)-(a+b)(a^2+b^2)≥0`

   `⇔2(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a+b)(a^2+b^2)≥0`

   `⇔(a+b)(2a^2-2ab+2b^2-a^2-b^2)≥0`

   `⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0`

   `⇔(a+b)(a-b)^2≥0`

   Ta có:

   `a,b>0`

   `⇒a+b>0`

   Lại có:

   `(a-b)^2≥0`

   Từ hai điều trên:

   `⇒(a+b)(a-b)^2≥0`

   `⇒2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2) (đpcm)`

   b)

   `4(a^3+b^3)≥(a+b)^3`

   `⇔4(a^3+b^3)≥a^3+b^3+3a^2b+3ab^2`

   `⇔3(a+b)(a^2-ab+b^2)≥3a^2b+3ab^2`

   `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)≥a^2b+ab^2`

   `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)≥0`

   `⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0`

   `⇔(a+b)(a-b)^2≥0`

   Ta có:

   `a,b>0`

   `⇒a+b>0`

   Lại có:

   `(a-b)^2≥0`

   Từ hai điều trên:

   `⇒(a+b)(a-b)^2≥0`

   `⇒4(a^3+b^3)≥(a+b)^3 (đpcm)`

   Trả lời

2. a) $2.(a^3+b^3) ≥ (a+b).(a^2+b^2)$

   $⇔a^3+b^3 ≥ ab^2+a^2b$

   $⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2 ≥ 0 $

   $⇔a^2.(a-b)-b^2.(a-b) ≥ 0 $

   $⇔(a-b)^2.(a+b)≥ 0$ ( Đúng )

   b) $4.(a^3+b^3) ≥ (a+b)^3$

   $⇔3.(a^3+b^3) ≥ 3ab.(a+b)$

   $⇔a^3+b^3 ≥ ab.(a+b)$

   $⇔(a-b)^2.(a+b) ≥ 0 $ ( Đúng )

    

   Trả lời