CHỨNG MINH BĐT a, 2(a^3+b^3)>= (a+b)(a^2+b^2) với a,b>0 b, 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 với a, b>0

Question

CHỨNG MINH BĐT
a, 2(a^3+b^3)>= (a+b)(a^2+b^2) với a,b>0
b, 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 với a, b>0

in progress 0
Jade 3 tháng 2021-09-20T07:01:56+00:00 2 Answers 7 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-20T07:03:15+00:00

    a)

    `2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2)`

    `⇔2(a^3+b^3)-(a+b)(a^2+b^2)≥0`

    `⇔2(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a+b)(a^2+b^2)≥0`

    `⇔(a+b)(2a^2-2ab+2b^2-a^2-b^2)≥0`

    `⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0`

    `⇔(a+b)(a-b)^2≥0`

    Ta có:

    `a,b>0`

    `⇒a+b>0`

    Lại có:

    `(a-b)^2≥0`

    Từ hai điều trên:

    `⇒(a+b)(a-b)^2≥0`

    `⇒2(a^3+b^3)≥(a+b)(a^2+b^2) (đpcm)`

    b)

    `4(a^3+b^3)≥(a+b)^3`

    `⇔4(a^3+b^3)≥a^3+b^3+3a^2b+3ab^2`

    `⇔3(a+b)(a^2-ab+b^2)≥3a^2b+3ab^2`

    `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)≥a^2b+ab^2`

    `⇔(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)≥0`

    `⇔(a+b)(a^2-2ab+b^2)≥0`

    `⇔(a+b)(a-b)^2≥0`

    Ta có:

    `a,b>0`

    `⇒a+b>0`

    Lại có:

    `(a-b)^2≥0`

    Từ hai điều trên:

    `⇒(a+b)(a-b)^2≥0`

    `⇒4(a^3+b^3)≥(a+b)^3 (đpcm)`

    0
    2021-09-20T07:03:53+00:00

    a) $2.(a^3+b^3) ≥ (a+b).(a^2+b^2)$

    $⇔a^3+b^3 ≥ ab^2+a^2b$

    $⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2 ≥ 0 $

    $⇔a^2.(a-b)-b^2.(a-b) ≥ 0 $

    $⇔(a-b)^2.(a+b)≥ 0$ ( Đúng )

    b) $4.(a^3+b^3) ≥ (a+b)^3$

    $⇔3.(a^3+b^3) ≥ 3ab.(a+b)$

    $⇔a^3+b^3 ≥ ab.(a+b)$

    $⇔(a-b)^2.(a+b) ≥ 0 $ ( Đúng )

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )