Chứng minh pt: 3sinx + 4cosx +mx -2=0 luôn có nghiệm với mọi m

0 bình luận về “Chứng minh pt: 3sinx + 4cosx +mx -2=0 luôn có nghiệm với mọi m”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $: f(x) = 3sinx + 4cosx + mx – 2 (1)$

   $ = 5(\dfrac{3}{5}sinx + \dfrac{4}{5}cosx) + mx – 2$

   $ = 5[sin(x + \alpha) – 1] + mx + 3 (2)$ ( với $ cos\alpha = \dfrac{3}{5}; sin\alpha = \dfrac{4}{5})$

   – Nếu $m = 0; PT ⇔ 5sin(x + \alpha) – 2 = 0 $ có nghiệm $(*)$

   – Xét $m \neq 0 ⇒ – \dfrac{3}{m} \neq 0$

   Từ $(1) ⇒ f(0) = 2 > 0$

   Từ $(2) ⇒ f(- \dfrac{3}{m}) = 5[sin(- \dfrac{3}{m} + \alpha) – 1] + m(- \dfrac{3}{m} ) + 3$

   $ = 5[sin(- \dfrac{3}{m} + \alpha) – 1] ≤ 0$ ( vì $ sin(- \dfrac{3}{m} + \alpha) ≤ 1)$

   $ ⇒ f(0).f(- \dfrac{3}{m}) ≤ 0 ⇒ PT : f(x) = 0 $ có nghiệm trên

   đoạn $[- \dfrac{3}{m}; 0] (m > 0)$ hoặc đoạn $[0; – \dfrac{3}{m}] (m < 0)(**)$

   Từ $(*); (**) ⇒ PT: f(x) = 0 $ luôn có nghiệm với mọi $m$

   Trả lời