Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24

Question

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24

in progress 0
Abigail 2 tháng 2021-07-27T09:13:10+00:00 2 Answers 2 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-27T09:14:16+00:00

    Đáp án:

          Ta có `(p-1)p(p+1)vdots3` mà `(p,3)=1` nên:

                    `(p-1)(p+1)vdots3`              `(1)`

          `p` là số nguyên tố lớn hơn `3` nên `p` là số lẻ, `p-1` và `p+1` là `2` số chẵn liên tiếp. Trong `2` số chẵn liên tiếp, có `1` số là bội của `4` nên tích của chúng chia hết cho `8`           `(2)` 

          Từ `(1)` và `(2)` suy ra `(p-1)(p+1)` chia hết cho `2` số nguyên tố cùng nhau `3` và `8`.

     `=>(p-1)(p+1)vdots24`

     

    0
    2021-07-27T09:14:48+00:00

    Đáp án:

    Do `p > 3` => p là số lẻ => `p = 2k + 1 (k ∈ N*)`

    `=> (p – 1)(p + 1) = (2k + 1 – 1)(2k + 1 + 1) = 2k.(2k + 2)`

    Do `2k ; 2k + 2` là 2 số chẵn liên tiếp

    `=> 2k(2k + 2)` chia hết cho 8 

    `=> (p – 1)(p + 1)` chia hết cho 8 (1)

    Do `p > 3 ` => p sẽ có 2 dạng là `3k + 1 , 3k + 2 (k ∈ N*)` 

    Với `p = 3k + 1`

    `=> (p – 1)(p + 1) = (3k + 1 – 1)(p + 1) = 3k.(p + 1)` chia hết cho 3 

    Với `p = 3k + 2`

    `=> (p – 1)(p + 1) = (p – 1)(3k + 2 + 1) = (p – 1)(3k + 3)` chia hết cho 3 

    `=> (p – 1)(p + 1)` chia hết cho 3 với mọi p nguyên tố > 3 (2)

    Từ (1) và (2)

    `=> (p – 1)(p + 1)` chia hết cho 24

    Giải thích các bước giải:

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )