Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x,y ta có $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ $\geq$ $\frac{x}{y}$ +$\frac{y}{x}$

0 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x,y ta có $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ $\geq$ $\frac{x}{y}$ +$\frac{y}{x}$”

1. Giải thích các bước giải:

   Đặt $t=\dfrac xy+\dfrac yx$

   $\to |t|=|\dfrac xy+\dfrac yx|=|\dfrac{x^2+y^2}{xy}|=\dfrac{x^2+y^2}{|xy|}\ge \dfrac{2|xy|}{|xy|}=2$

   Ta có:

   $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge \dfrac xy+\dfrac yx$

   $\to (\dfrac xy+\dfrac yx)^2-2\ge \dfrac xy+\dfrac yx$

   $\to t^2-2\ge t$

   $\to t^2-t-2\ge 0$

   $\to (t+1)(t-2)\ge 0$

   Mà $|t|\ge 2\to t\ge 2$ hoặc $t\le -2$

   Nếu $t\ge 2\to (t+1)(t-2)\ge 0$

   Nếu $t\le -2\to t+1\le -2, t-2\le -4\to (t+1)(t-2)>0$

   Kết hợp cả $2$ trường hợp $\to (t+1)(t-2)\ge 0$ luôn đúng

   $\to \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge \dfrac xy+\dfrac yx$ luôn đúng

   $\to đpcm$

   Trả lời