Toán CMR : `M = 1/3 . 5/7 . 9/11 . … . 97/99 < 1/10` 28/07/2021 By Ivy CMR : `M = 1/3 . 5/7 . 9/11 . … . 97/99 < 1/10`
Trước hết , ta chứng minh `m/n` luôn nhỏ hơn `( m + 1 )/( n + 1 )` với `m/n < 1` Ta có : `m/n = (( n + 1 ) . m )/(( n + 1 ) . n ) = ( mn + m )/( n^2 + n )` `( m + 1 )/( n + 1 ) = ( n . ( m + 1 ))/( n . ( n + 1 ) = ( nm + n )/( n^2 + n )` Vì `mn + m < nm + n ( m/n < 1 ⇒ m < n )` `⇒ ( m + 1 )/( n + 1 ) > m/n` Trở lại bài toán , ta có : `M = 1/3 . 5/7 . 9/11 …. 97/99 < 2/4 . 6/8 . 10/12 …. 98/100` `M = 1/3 . 5/7 . 9/11 …. 97/99 < 1/2 . 3/4 . 5/6 …. 49/50` Mà ` 1/2 . 3/4 . 5/6 …. 49/50 < 2/3 + 4/5 + 6/7 + …. + 50/51` `⇒ M . M < ( 1/2 . 3/4 . 5/6 …. 49/50 ) . ( 2/3 + 4/5 + 6/7 + …. + 50/51 )` `⇔ M^2 < ( 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ….. 50 )/( 2 . 3 . 4 . 5 . 6 …… 51 )` `⇔ M^2 < 1/51 < 1/10` `⇒ M < 1/10` `text{( Điều phải chứng minh )}` `text{Xin câu trả lời hay nhất cho nhóm .}` Trả lời
Nhận xét: Nếu $\frac{a}{b}$ < 1 → $\frac{a}{b}$<$\frac{a+1}{b+1}$ Ta có M=$\frac{1}{3}$.$\frac{5}{7}$. … . $\frac{97}{99}$ → M<$\frac{2}{4}$.$\frac{6}{8}$.$\frac{10}{12}$. … .$\frac{98}{100}$ ( cộng 1 cho cả tử và mẫu ) Hay M<$\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}$.$\frac{5}{6}$. … .$\frac{49}{50}$ + Gọi biểu thức $\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}$.$\frac{5}{6}$. … .$\frac{49}{50}$ là S → S<$\frac{2}{3}$.$\frac{4}{5}$.$\frac{6}{7}$. … . $\frac{50}{51}$ ( cộng 1 cho cả tử và mẫu ) ⇒ M²<($\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}$.$\frac{5}{6}$. … .$\frac{49}{50}$).($\frac{2}{3}$.$\frac{4}{5}$.$\frac{6}{7}$. … . $\frac{50}{51}$) Hay M²< $\frac{1.3.5…49.2.4….50}{2.4…50.3.5…51}$=$\frac{1}{51}$<$\frac{1}{10}$ ⇒ M<$\frac{1}{10}$ ( đpcm ) Trả lời
Trước hết , ta chứng minh `m/n` luôn nhỏ hơn `( m + 1 )/( n + 1 )` với `m/n < 1`
Ta có : `m/n = (( n + 1 ) . m )/(( n + 1 ) . n ) = ( mn + m )/( n^2 + n )`
`( m + 1 )/( n + 1 ) = ( n . ( m + 1 ))/( n . ( n + 1 ) = ( nm + n )/( n^2 + n )`
Vì `mn + m < nm + n ( m/n < 1 ⇒ m < n )` `⇒ ( m + 1 )/( n + 1 ) > m/n`
Trở lại bài toán , ta có :
`M = 1/3 . 5/7 . 9/11 …. 97/99 < 2/4 . 6/8 . 10/12 …. 98/100`
`M = 1/3 . 5/7 . 9/11 …. 97/99 < 1/2 . 3/4 . 5/6 …. 49/50`
Mà ` 1/2 . 3/4 . 5/6 …. 49/50 < 2/3 + 4/5 + 6/7 + …. + 50/51`
`⇒ M . M < ( 1/2 . 3/4 . 5/6 …. 49/50 ) . ( 2/3 + 4/5 + 6/7 + …. + 50/51 )`
`⇔ M^2 < ( 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ….. 50 )/( 2 . 3 . 4 . 5 . 6 …… 51 )`
`⇔ M^2 < 1/51 < 1/10`
`⇒ M < 1/10` `text{( Điều phải chứng minh )}`
`text{Xin câu trả lời hay nhất cho nhóm .}`
Nhận xét: Nếu $\frac{a}{b}$ < 1 → $\frac{a}{b}$<$\frac{a+1}{b+1}$
Ta có M=$\frac{1}{3}$.$\frac{5}{7}$. … . $\frac{97}{99}$
→ M<$\frac{2}{4}$.$\frac{6}{8}$.$\frac{10}{12}$. … .$\frac{98}{100}$ ( cộng 1 cho cả tử và mẫu )
Hay M<$\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}$.$\frac{5}{6}$. … .$\frac{49}{50}$
+ Gọi biểu thức $\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}$.$\frac{5}{6}$. … .$\frac{49}{50}$ là S
→ S<$\frac{2}{3}$.$\frac{4}{5}$.$\frac{6}{7}$. … . $\frac{50}{51}$ ( cộng 1 cho cả tử và mẫu )
⇒ M²<($\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}$.$\frac{5}{6}$. … .$\frac{49}{50}$).($\frac{2}{3}$.$\frac{4}{5}$.$\frac{6}{7}$. … . $\frac{50}{51}$)
Hay M²< $\frac{1.3.5…49.2.4….50}{2.4…50.3.5…51}$=$\frac{1}{51}$<$\frac{1}{10}$
⇒ M<$\frac{1}{10}$ ( đpcm )