CMR với mọi số tố p lẻ đều không tồn tại số m,n thuộc N* thỏa mãn 1/p=1/p^2+1/n^2

Question

CMR với mọi số tố p lẻ đều không tồn tại số m,n thuộc N* thỏa mãn 1/p=1/p^2+1/n^2

in progress 0
Arya 6 ngày 2021-09-08T23:58:32+00:00 1 Answers 0 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-09T00:00:16+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn yêu cầu.

    Từ $\frac{1}{p}=\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}$  

         $\Rightarrow (m^{2}+n^{2})p=m^{2}n^{2}$

         $\Leftrightarrow (m^{2}-p)(n^{2}-p)=p^{2}$

    Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n$

    $\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m^{2}-p=p\\ n^{2}-p=p \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} m^{2}-p=p^{2}\\ n^{2}-p=1\end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ (Vì $p$ nguyên tố).

    Xét TH1: Từ $m^{2}-p=p$ suy ra $m^{2}=2p$ mặt khác vì $p$ lẻ $\Rightarrow p=2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$

     $\Rightarrow m^{2}=4k+2\equiv 2 (mod4) \Rightarrow$ vô lí.

    Xét TH2: Từ $m^{2}-p=p^{2}$ suy ra $m^{2}=p(p+1) \Rightarrow p=a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}$ vì $(p;p+1)=1$

     $\Rightarrow p=a^{2} \Rightarrow$ vô lí vì p nguyên tố.

    Vậy trong cả 2TH đều dẫn đến vô lí suy ra điều giả sử là sai $\Rightarrow ĐPCM$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )