giải phương trình nghiệm nguyên: $yx^2+xy-x+y=3$

0 bình luận về “giải phương trình nghiệm nguyên: $yx^2+xy-x+y=3$”

1. `\qquad yx^2+xy-x+y=3`

   `<=>yx^2+xy+y=x+3`

   `<=>y(x^2+x+1)=x+3`

   `=>y={x+3}/{x^2+x+1}`

   Vì `y\in Z=>(x+3)\ \vdots \ (x^2+x+1)` 

   Vì `x\in Z=>x-2\in Z`

    `=>(x-2)(x+3)\ \vdots \ (x^2+x+1)`

   `=>(x^2+3x-2x-6)\ \vdots \  (x^2+x+1)`

   `=>(x^2+x+1-7)\ \vdots \  (x^2+x+1)`

   $\\$

   Do `(x^2+x+1)\ \vdots \  (x^2+x+1)`

   `=>7\ \vdots \  (x^2+x+1)`

   `=>x^2+x+1\in Ư(7)={-7;-1;1;7}`

   Ta có:

   `x^2+x+1=x^2+2.x. 1/ 2 + 1/ 4 +3/ 4`

   `=(x+ 1/ 2)^2+3/ 4\ge 3/ 4>0` với mọi $x$

   $\\$

   `=>x^2+x+1\in {1;7}`

   +) Nếu `x^2+x+1=1`

   `<=>x^2+x=0`

   `<=>x(x+1)=0`

   $⇔\left[\begin{array}{l}x=0\\x+1=0\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}x=0\\x=-1\end{array}\right.$ 

   $\\$

   `y={x+3}/{x^2+x+1}`

   ++) $TH: x=0$

   `=>y={0+3}/{0^2+0+1}=3` (TM)

   `=>(x;y)=(0;3)`

   $\\$

   ++) $TH: x=-1$

   `=>y={-1+3}/{(-1)^2-1+1}=2` (TM)

   `=>(x;y)=(-1;2)`

   $\\$

   +) Nếu `x^2+x+1=7`

   `<=>x^2+x-6=0`

   `<=>x^2-2x+3x-6=0`

   `<=>x(x-2)+3(x-2)=0`

   `<=>(x-2)(x+3)=0`

   $⇔\left[\begin{array}{l}x-2=0\\x+3=0\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}x=2\\x=-3\end{array}\right.$ 

   $\\$

   `y={x+3}/{x^2+x+1}`

   ++) $TH: x=2$

   `=>y={2+3}/{2^2+2+1}=5/ 7` (loại)

   $\\$

   ++) $TH: x=-3$

   `=>y={-3+3}/{(-3)^2-3+1}=0` (TM)

   `=>(x;y)=(-3;0)`

   $\\$

   Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

   `(x;y)\in {(0;3);(-1;2);(-3;0)}`

   Trả lời