Giúp e a) Chứng minh: `(ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)` b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: `(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)`

0 bình luận về “Giúp e a) Chứng minh: `(ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)` b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: `(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)`”

1. `a) (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2`
   `= (ac)^2 +2.ac.bd + bd^2 + (ad)^2 – 2.ad.bc + (bc)^2`
   `= a^2c^2 +2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 -2abcd +b^2c^2`
   `= a^2c^2+ b^2d^2 + a^2d^2+b^2c^2`
   `= (a^2c^2 + a^2d^2) +(b^2d^2+b^2c^2)`
   `= a^2.(c^2+d^2) +b^2.(d^2+c^2)`
   ` =(a^2+b^2).(c^2+d^2)`

   `b) (ac+bd)^2 \le (a^2+b^2).(c^2+d^2) (1)`
   `<=> (ac)^2 + 2.ab.cd +(bd)^2 \le a^2c^2 + a^2d^2 +b^2c^2 +b^2d^2`
   `<=> a^2c^2+2abcd+b^2d^2 \le a^2c^2 +a^2d^2 +b^2c^2 +b^2d^2`
   `<=> 2abcd \le a^2d^2 + b^2c^2`
   `<=> a^2d^2 +b^2c^2 – 2abcd \ge 0`
   `<=> (ad-bc)^2 \ge 0` (luôn đúng `\forall a,b,c,d`)
   `=> (1)` luôn đúng 
   Dấu `=` xảy ra `<=> ad – bc =0`
   `<=> ad =bc`
   `<=> a/c = b/d`

   Trả lời

2. Đáp án: 

   Giải thích các bước giải:

    Câu `a)` Ta có:

   Vế trái `=(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2`

   `= a^2c^2 + 2ac.bd + b^2d^2 + a^2d^2 – 2ad.bc + b^2c^2`

   `= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2`

   Vế phải `= (a^2 + b^2)(c^2+d^2)`

   `= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2`

   Từ đó, suy ra vế phải bằng vế trái hay `(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2+d^2).`

   `b)`

   Giả sử `(ac+bd)^2 ≤ (a^2 + b^2)(c^2+d^2)`

   `<=> a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 ≤ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2`

   `<=> 2acbd ≤ a^2d^2  + b^2c^2`

   `<=> a^2d^2  – 2ad.bc+ b^2c^2 ≥0`

   `<=> (ad- bc)^2 ≥0` (luôn đúng) 

   `=>` Giả sử đúng.

   Dấu “=” xảy ra khi `ad=bc.`

   Trả lời